Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có chiều dài là \({\rm{50 cm}}\) và chiều rộng là \({\rm{30 cm}}\). Bạn Linh cắt ở mỗi góc một tấm bìa hình vuông cạnh \(x{\rm{\;(cm)}}\) và xếp phần còn lại thành một hình hộp không nắp. Tìm \(x\) để diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Diện tích đáy hình vuông của chiếc lều là:

Thể tích không khí bên trong chiếc lều là:

b) Diện tích xung quanh của chiếc lều là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 3} \right) \cdot 3,18 = 19,08{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích vải phủ bốn phía và trải nền đất cho chiếc lều là:

\(S = 9 + 19,08 = 28,08\) (m²).

Do \(28,08 > 20\) nên số tiền mua vải được giảm giá \(5\% \) trên tổng hóa đơn.

Vậy số tiền mua vải là: \(28,08 \cdot 15\,\,000 \cdot \left( {100\% - 5\% } \right) = 400\,\,140\) (đồng).

Hướng dẫn giải

Ta có: \({x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0\)

Suy ra \(2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0\)

\({x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0\)

\(\left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\)

\({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\)

Với mọi \(x,\,\,y\) ta có: \({\left( {x - 3y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Do đó, để \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) thì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\] hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.\), tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).

Thay \(x = 3,\,\,y = 1\) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\[A = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2222}} - {1^{2222}}}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}.\]