Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) và các mặt bên là những tam giác đều. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) và các mặt bên là những tam giác đều. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và các mặt bên là những tam giác đều nên là hình chóp đều.
⦁ Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD.\) Khi đó \(CM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}a\).
Tam giác \(SCD\) đều nên đường trung tuyến \(SM\) đồng thời là đường cao nên \(SM \bot CD\), do đó \(\Delta SCM\) vuông tại \(M.\)
Áp dụng định lí Pythagore ta có \(S{C^2} = S{M^2} + C{M^2}\)
Suy ra \(S{M^2} = S{C^2} - C{M^2} = {a^2} - {\left( {\frac{1}{2}a} \right)^2} = \frac{3}{4}{a^2}.\) Do đó \(SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Diện tích xung quanh của hình chóp đều \(S.ABCD\) là:
\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4a} \right) \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3 \) (đvdt).
⦁ Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) có \(AD = DC = a,\) áp dụng định lí Pythagore ta có: \(A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\) Do đó \(AC = a\sqrt 2 .\)
Vì \(SO\) là đường cao của hình chóp đều \(S.ABCD\) với \(ABCD\) là hình vuông nên \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)
Do đó \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều nên \(SA = AD = a.\)
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(O,\) áp dụng định lí Pythagore ta có: \(S{A^2} = S{O^2} + A{O^2}\)
Suy ra \(S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = {a^2} - \frac{1}{2}{a^2} = \frac{1}{2}{a^2}.\) Do đó \(SO = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\)
Thể tích của hình chóp đều \(S.ABCD\) là:
\(V = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot \frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{a^3}}}{{3\sqrt 2 }}\) (đvtt).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Diện tích đáy hình vuông của chiếc lều là:
Thể tích không khí bên trong chiếc lều là:
b) Diện tích xung quanh của chiếc lều là:
\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 3} \right) \cdot 3,18 = 19,08{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích vải phủ bốn phía và trải nền đất cho chiếc lều là:
\(S = 9 + 19,08 = 28,08\) (m2).
Do \(28,08 > 20\) nên số tiền mua vải được giảm giá \(5\% \) trên tổng hóa đơn.
Vậy số tiền mua vải là: \(28,08 \cdot 15\,\,000 \cdot \left( {100\% - 5\% } \right) = 400\,\,140\) (đồng).
Lời giải
Hướng dẫn giải
Vì tấm lưới dài \(500\,\,{\rm{m}}\), hay chính là chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật \(ABCD\) trừ khu nhà kho \[EF = 100\,\,{\rm{m}}\] bằng \(500\,\,{\rm{m}}\).
Suy ra chu vi của mảnh vườn là \(600\,\,{\rm{m}}\), nên nửa chu vi mảnh vườn là \(300{\rm{\;m}}.\)
Do đó chiều rộng của mảnh vườn rào được theo chiều dài \(x{\rm{\;(m)}}\) là: \(300 - x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:
\[S = x \cdot \left( {300 - x} \right)\]\( = - {x^2} + 300x\)
\( = - {x^2} + 2 \cdot x \cdot 150 - {150^2} + {150^2}\)
\( = - {\left( {x - 150} \right)^2} + 22\,\,500\)
Với mọi \(x > 0,\) ta có \({\left( {x - 150} \right)^2} \ge 0\) nên \( - {\left( {x - 150} \right)^2} \le 0\) hay \( - {\left( {x - 150} \right)^2} + 22\,\,500 \le 22\,\,500\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 150\).
Vậy diện tích mảnh vườn lớn nhất là \(22\,\,500{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) khi \(x = 150{\rm{\;m}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập