Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB < AC,\] đường cao \[AH.\] Kẻ \[HD\] vuông góc với \[AB\] tại $D,$ \[HE\] vuông góc với \[AC\] tại $E.$

     a) Tứ giác \[ADHE\] là hình gì? Vì sao?

     b) Tính diện tích của tứ giác \[ADHE\] nếu \[AD = 4\,\,{\rm{cm}};\,\,AH = 5\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]

     c) Lấy hai điểm $I$ và $K$ sao cho $D$ là trung điểm của $BI$ và $D$ cũng là trung điểm của $HK.$ Chứng minh tứ giác \[BKIH\] là hình bình hành và \[AK\] vuông góc với \[IH.\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Tứ giác \[ADHE\] là hình gì? Vì sao? (ảnh 1)$

a) Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {BAC} = 90^\circ $ hay $\widehat {DAE} = 90^\circ $.

Ta có $HD \bot AB$; $HE \bot AC$ nên $\widehat {HDA} = 90^\circ $; $\widehat {HEA} = 90^\circ $.

Tứ giác $ADHE$ có \[\widehat {DAE} = \widehat {HDA} = \widehat {HEA} = 90^\circ \] nên tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật.

b) Xét $\Delta AHD$ vuông tại $D$, áp dụng định lý Pythagore, ta có: $A{H^2} = A{D^2} + D{H^2}$

Suy ra $D{H^2} = A{H^2} - A{D^2} = {5^2} - {4^2} = 9$. Do đó $DH = 3\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}$

Tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật nên ta có: ${S_{ADHE}} = AD\,.\,DH = 4\,.\,3 = 12\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Vậy diện tích tứ giác $ADHE$ bằng $12\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.$

c) Xét tứ giác $BKIH$ có $D$ là trung điểm của hai đường chéo $BI$ và $HK$ nên $BKIH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Do đó $KI\,{\rm{//}}\,BH.$

Mà $AH \bot BH$ suy ra $KI \bot AH.$

Xét $\Delta AHK$ có hai đường cao $AD,\,\,KI$ $\left( {AD \bot KH;\,\,KI \bot AH} \right)$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trực tâm của tam giác $AKH$, suy ra $HI \bot AK.$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho x và y thoả mãn: ${x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0$. Tính giá trị của biểu thức:

$A = \frac{{{{\left( {x + y - 4} \right)}^{2222}} - {y^{2222}}}}{x}.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có: ${x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0$

Suy ra $2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0$

${x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0$

$\left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0$

${\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$

Với mọi $x,\,\,y$ ta có: ${\left( {x - 3y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$

Suy ra ${\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$

Do đó, để ${\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$ thì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\] hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.$, tức là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.$.

Thay $x = 3,\,\,y = 1$ vào biểu thức $A,$ ta được:

\[A = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2222}} - {1^{2222}}}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}.\]

Câu 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

e) $E = \frac{{11}}{{12 - 4x - {x^2}}}.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

e) Ta có $E = \frac{{11}}{{12 - 4x - {x^2}}} = \frac{{11}}{{ - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 16}} = \frac{{11}}{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 16}}.$

Với mọi $x,$ ta luôn có ${\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0$ nên $ - {\left( {x + 2} \right)^2} + 16 \le 16$

Suy ra $\frac{{11}}{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 16}} \ge \frac{{11}}{{16}},$ hay $E \ge \frac{{11}}{{16}}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {x + 2} \right)^2} = 0,$ tức là $x = - 2.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $E$ là $\frac{{11}}{{16}}$ tại $x = - 2.$

Câu 3