Cho hình vuông \[ABCD.\] Lấy điểm \[M\] thuộc đường chéo \[BD.\] Kẻ \[ME\] vuông góc với \(AB\) tại \[E,{\rm{ }}MF\] vuông góc với \[AD\] tại \[F.\]

     a) Tứ giác \(AEMF\) là hình gì? Vì sao?

     b) Xác định vị trí của điểm \[M\] trên đường chéo \[BD\] để diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có: \({x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0\)

Suy ra \(2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0\)

\({x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0\)

\(\left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\)

\({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\)

Với mọi \(x,\,\,y\) ta có: \({\left( {x - 3y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Do đó, để \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) thì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\] hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.\), tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).

Thay \(x = 3,\,\,y = 1\) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\[A = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2222}} - {1^{2222}}}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}.\]

Hướng dẫn giải

e) Ta có \(E = \frac{{11}}{{12 - 4x - {x^2}}} = \frac{{11}}{{ - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 16}} = \frac{{11}}{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 16}}.\)

Với mọi \(x,\) ta luôn có \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\) nên \( - {\left( {x + 2} \right)^2} + 16 \le 16\)

Suy ra \(\frac{{11}}{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 16}} \ge \frac{{11}}{{16}},\) hay \(E \ge \frac{{11}}{{16}}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x + 2} \right)^2} = 0,\) tức là \(x =  - 2.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(E\) là \(\frac{{11}}{{16}}\) tại \(x =  - 2.\)