Cho hình chữ nhật \(ABCD\), kẻ \(AH,CK\) vuông góc với \(BD\) \(\left( {H,\,\,K \in BD} \right)\).

     a) Chứng minh \(DH = BK\).

     b) Chứng minh tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành.

     c) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(H\). Chứng minh \(DECB\) là hình thang cân.

b) Ta có \(\Delta AHD = \Delta CKB\) (câu a) nên \(AH = CK\).

Mặt khác: \(AH \bot BD,\,\,CK \bot BD\) nên \(AH\,{\rm{//}}\,CK\)

Do đó tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

c) Ta có: \(AH = HE\) và \(AH = CK\) nên \(HE = CK\)

Mà \(HE\,{\rm{//}}\,CK\) (\(AH\,{\rm{//}}\,CK\) và \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(H\))

Do đó tứ giác \(CKHE\) là hình bình hành. Suy ra \(HK\,{\rm{//}}\,CE\) hay \(BD\,{\rm{//}}\,CE\) (1)

Xét \(\Delta ADE\) có \(DH\) là đường cao, vừa là trung tuyến nên \(\Delta ADE\) cân tại \(D\)

Do đó \(DH\) là đường phân giác của \(\Delta ADE\), nên \(\widehat {ADB} = \widehat {EDB}\)

Mà \(\widehat {ADB} = \widehat {CBD}\) nên \(\widehat {EDB} = \widehat {CBD}\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra tứ giác \(CEDB\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).