Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

b) \(\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + x\left( {3 - {x^2}} \right) = x\)

\(\left( {{x^3} - {2^3}} \right) + \left( {3x - {x^3}} \right) - x = 0\)

\(2x - 8 = 0\)

\(2x = 8\)

\(x = 4\).

Hướng dẫn giải

a) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[M = \frac{1}{{{x^2} - 2x}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - \frac{{4x}}{x}} \right) + 1\]

\[ = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 4 - 4x}}{x} + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{x} + 1\]

\[ = \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.\]

Vậy với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.\)

b) Ta có \[\left| {4 - x} \right| = 2\]

Thay \[x = 6\] vào biểu thức \(M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}},\) ta được:

\[M = \frac{{{6^2} + 6 - 2}}{{{6^2}}} = \frac{{36 + 6 - 2}}{{36}} = \frac{{10}}{9}.\]

Vậy \(M = \frac{{10}}{9}\) khi \[\left| {4 - x} \right| = 2.\]

c) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có \[M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}.\]

Đặt \[\frac{1}{x} = t\,\,\,\left( {t \ne 0;\,\,t \ne \frac{1}{2}} \right),\] khi đó:

\[M = 1 + t - 2{t^2} = - 2\left( {{t^2} - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}} \right) = - 2\left( {{t^2} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)\]

\[ = - 2\left[ {{{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right] = \frac{9}{8} - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2}.\]

Vì \[{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên \[ - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le 0,\] do đó \[P \le \frac{9}{8}.\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi \[t - \frac{1}{4} = 0,\] tức là \[t = \frac{1}{4}\] (thoả mãn).

Với \(t = \frac{1}{4},\) ta có \[\frac{1}{x} = \frac{1}{4},\] suy ra \[x = 4.\]

Vậy giá trị lớn nhất của \[M\] là \[\frac{9}{8}\] khi \[x = 4.\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⦁ \({x^2} - 2x = x\left( {x - 2} \right).\)

⦁ \[\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}.\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x - 2 \ne 0\\\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} \ne 0\end{array} \right.,\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 2\\\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \ne 0\end{array} \right.,\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..\]

Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[D = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}}} \right)\]

     \[ = \left[ {\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]\]

     \[ = \frac{{x - 4 + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}:\frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\]

     \[ = \frac{{3x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}:\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\]

     \[ = \frac{{3x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\]

Vậy với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(D = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\)

b) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có: \(D > 0\) khi \(\frac{{ - 3x + 4}}{4} > 0,\) do đó \( - 3x + 4 > 0\) (vì \(4 > 0).\)

Suy ra \(3x < 4,\) nên \(x < \frac{4}{3}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta được \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0.\)

Vậy với \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0\) thì \(D > 0.\)

c) Để \(D\) là số nguyên âm lớn nhất thì \(D = - 1,\) khi đó:

\(\frac{{ - 3x + 4}}{4} = - 1\)

\( - 3x + 4 = - 4\)

\( - 3x = - 8\)

\(x = \frac{8}{3}\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy với \(x = \frac{8}{3}\) thì \(D\) có giá trị là số nguyên âm lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[{x^2} + x - 6 = {x^2} - 2x + 3x - 6 = x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right).\]

\(2 - x = - \left( {x - 2} \right).\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(C\) là \(x + 3 \ne 0\) và \(x - 2 \ne 0\), tức là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2.\)

Vậy biểu thức \(C\) xác định khi \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2.\)

b) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[C = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}\]\[ = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}\]

     \[ = \frac{{\left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) - 5 - 1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{{x^2} - 4 - 5 - x - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

     \[ = \frac{{{x^2} - x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

     \[ = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

Vậy \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) thì \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

c) Ta có: \[{x^2} - 9 = 0\]

              \[\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

               \[x = 3\] (thoả mãn điều kiện) hoặc \[x = - 3\] (không thỏa mãn điều kiện).

Thay \[x = 3\] vào biểu thức \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}},\] ta được: \[C = \frac{{3 - 4}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1.\]

Vậy \[C = - 1\] khi \[{x^2} - 9 = 0.\]

d) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có: \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 - 2}}{{x - 2}} = 1 - \frac{2}{{x - 2}}.\]

Với \(x\) là số nguyên, để \[C\] cũng có giá trị nguyên thì \[x - 2\] là ước của \(2.\)

Mà Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1;\,\, - 2;\,\,2} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Do đó, để \(C\) có giá trị là số nguyên dương lớn nhất thì \(C = 3.\)

Vậy \(x = 1\) thì \(C\) đạt giá trị nguyên dương lớn nhất là \(C = 3.\)

Hướng dẫn giải

a) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) ta có:

\(B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}\)\( = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{4}{{x + 1}}\).

Vậy với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

b) Với \(x = - \frac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức \(B = \frac{4}{{x + 1}},\) ta được:

\(B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.\)

Vậy với \(x = - \frac{1}{2}\) thì \(B = 8.\)

c) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

Với \(x\) là số nguyên, để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 1\) là ước của \(4.\)

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Do đó: \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Vậy để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(9 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 9} \right) = - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right).\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x + 3 \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0,\) tức là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3.\)

b) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3,\) ta có:

\(A = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} - \frac{{18}}{{9 - {x^2}}}\)\( = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} + \frac{{18}}{{{x^2} - 9}}\)

   \( = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

  \( = \frac{{3 \cdot \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

   \( = \frac{{3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

   \( = \frac{{3x - 9 + x + 3 + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \frac{4}{{x - 3}}.\)

Vậy với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3,\) thì \(A = \frac{4}{{x - 3}}.\)

c) Với \(x = - 1\) thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức \(A = \frac{4}{{x - 3}},\) ta được:

\(A = \frac{4}{{ - 1 - 3}} = \frac{4}{{ - 4}} = - 1.\)

Vậy \(A = - 1\) khi \(x = - 1.\)

d) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3,\) thì \(A = \frac{4}{{x - 3}}.\)

Để \(A = - 4\) thì\(\frac{4}{{x - 3}} = - 4\), do đó \(x - 3 = - 1,\) nên \(x = 2\) (thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy với \(x = 2\) thì \(A = - 4.\)

j) \(1 + \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right)\)

\( = 1 + \frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left[ {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right]\)

\( = 1 - \frac{{x\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{1 + x - 1}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\)
\( = 1 - \frac{{x\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\)

i) \(\left( {\frac{2}{{x + 2}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 4}}{{4{x^2} - 1}}\)

\( = \frac{{2x - 2 + 2x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{4x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\)