Cho \(\Delta ABC\) có \(AB < BC\). Trên tia \(BA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = BC\). Trên tia phân giác của \(\widehat B\) cắt\(AC\) ở \(E\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(DC\).

a) Chứng minh \(\Delta BED = \Delta BEC\).

b) Chứng minh \(EK \bot DC\).

c) Chứng minh \(B,\,\,K,\,\,E\) thẳng hàng.

a) Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta BEC\) ta có

\(BD = BC\) (giả thiết)

\(\widehat {DBE} = \widehat {CBE}\) (\(BE\) là phân giác của \(\widehat {DBC}\))

\(BE\) chung

Do đó \(\Delta BED = \Delta BEC\) (c.g.c)

Suy ra \(ED = EC\) (hai cạnh tương ứng)

b) Xét \[\Delta DEK\] và \[\Delta CEK\] có

\(ED = EC\) (chứng minh trên)

\[DK = CK\] (\(K\) là trung điểm của \(CD\))

\[EK\] chung

Do đó \[\Delta DEK = \Delta CEK\,\,\](c.c.c)

Suy ra \[\widehat {DKE} = \widehat {CKE}\] (hai góc tương ứng)

Ta có \[\widehat {DKE} + \widehat {CKE} = 180^\circ \] (hai góc kề bù) nên \[\widehat {DKE} = \widehat {CKE} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].

Suy ra \[EK \bot CD\] \[\,\,\,\left( 1 \right)\]

c) Xét \[\Delta DBK\] và \[\Delta CBK\] có

\(BD = BC\) (giả thiết)

\[DK = CK\] (\(K\) là trung điểm của \(CD\))

\[BK\] chung

Do đó \[\Delta DBK = \Delta CBK\,\,\](c.c.c)

Suy ra \[\widehat {DKB} = \widehat {CKB}\] (hai góc tương ứng)

Ta có \[\widehat {DKB} + \widehat {CKB} = 180^\circ \] (kề bù) nên \[\widehat {DKB} = \widehat {CKB} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].

Suy ra \[BK \bot CD\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\,\left( 1 \right)\] và \[\,\left( 2 \right)\] suy ra \(B,K,E\) thẳng hàng.