Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(AB = 2\,{\rm{cm}}\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) và \(\widehat {BAC} = 75^\circ \)(như hình vẽ bên dưới).

Diện tích tam giác \(ABC\) gần nhất với giá trị nào sau đây?

a) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\).

b) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\)\( = 9 + 4 - 2.3.2\cos 60^\circ = 7 \Rightarrow BC = \sqrt 7 \).

c) Có \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{9 + 7 - 4}}{{2.3.\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\).

d) Với M tùy ý nằm giữa B và C, ta có:

\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.\cos B = 9 + B{M^2} - 2.3.BM.\frac{{2\sqrt 7 }}{7}\)

\( = B{M^2} - \frac{{12\sqrt 7 }}{7}.BM + 9\)\( = {\left( {BM - \frac{{6\sqrt 7 }}{7}} \right)^2} + \frac{{189}}{{49}} \ge \frac{{189}}{{49}}\).

Suy ra \(A{M^2} \ge \frac{{189}}{{49}}\) \( \Rightarrow AM \ge \frac{{\sqrt {189} }}{7}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(BM - \frac{{6\sqrt 7 }}{7} = 0\)\( \Leftrightarrow BM = \frac{{6\sqrt 7 }}{7}\) hay \(BM = \frac{6}{7}BC\).

Đáp án: a) Sai;  b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

Áp dụng định lí côsin ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos \widehat B = 64 + 9 - 2.8.3.\cos 60^\circ = 49\).

Suy ra \(b = 7\). Chọn D.