Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} =  - 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 3}\end{array}} \right.\) với \(n \ge 1\). Khi đó:

a) Bố số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là \( - 1;2;5;8;\)

b) Số hạng thứ năm của dãy là \(13\)

c) Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: \({u_n} = 2n - 3\).

d) 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.

Với \(k\) là số nguyên dương, ta có:

\(\frac{1}{{(2k - 1) \cdot (2k + 1)}} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{(2k + 1) - (2k - 1)}}{{(2k - 1) \cdot (2k + 1)}}} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{(2k - 1)}} - \frac{1}{{(2k + 1)}}} \right)\).

Khi đó: \({u_n} = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) +  \ldots  + \left( {\frac{1}{{(2n - 1)}} - \frac{1}{{(2n + 1)}}} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{{(2n + 1)}}} \right] = \frac{n}{{2n + 1}}\).

Vậy \({u_n} = \frac{n}{{2n + 1}}\), với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta có:

\(\begin{array}{l}{u_{2021}} = \frac{{2021}}{{2.2021 + 1}} = \frac{{2021}}{{4043}}\\{u_{2022}} = \frac{{2022}}{{2.2022 + 1}} = \frac{{2022}}{{4045}}\\{u_{2023}} = \frac{{2023}}{{2.2023 + 1}} = \frac{{2023}}{{4047}}.\\{u_{2024}} = \frac{{2024}}{{2.2024 + 1}} = \frac{{2024}}{{4049}}.\end{array}\)

Nhận xét: \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{4^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{4^n}}} = \frac{{n + 1}}{{4n}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{4n}} < 1,\forall n \ge 1\).

Suy ra \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.