Cho các dãy số \({a_n} = {n^2} + n + 1\);\({b_n} = (n + 2) \cdot {3^n}\);\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{c_1} = 2}\\{{c_{n + 1}} = \frac{6}{{{c_n}}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}}\end{array}} \right.\);\({d_n} = {( - 4)^{2n + 1}}\). Khi đó

a) \(\left( {{a_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân

b) \(\left( {{b_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân

c) \(\left( {{c_n}} \right)\) là một cấp số nhân

d) \(\left( {{d_n}} \right)\) là một cấp số nhân

a) Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Năm số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \({u_1} = 2;{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}};{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

c) Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}}\).

Xét \({u_n} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}}\)

\( \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9.\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

d) Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2.\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,99985 < 3\).

Chọn C

Ta có \({5^{n - 1}} - 1 = {S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{q - 1}}\left( {{q^n} - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = q - 1\\q = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\q = 5\end{array} \right..\) Khi đó

\({u_4} = {u_1}{q^3} = {4.5^3} = 50\)