Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đơn điệu trên \(\left[ {a;\,b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất.

Cho các hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\{4,5}&{{\rm{ khi }}x = 2}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = \frac{2}{{x - 1}}\) . Khi đó:

a) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 4\)

c) Hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

d) Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

Cho các hàm số sau: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{x}{2}{\rm{ khi }}x \le 1}\\{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ khi }}x > 1}\end{array}} \right.\), \(g(x) = {x^2} - 3x + 1\) và \(h(x) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\)

a) Hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

b) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

c) Hàm số \(h(x)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

d) Hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Xét được tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:

a) \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 8x\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\) là hàm số liên tục trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

c) \(f(x) = \frac{{\sin x + 1}}{{x + 1}}\) là hàm số liên tục trên các khoảng \(( - \infty ;0),(0; + \infty )\).

d) \(f(x) = \sqrt {x - 2} \) là hàm số liên tục trên nửa khoảng \([2; + \infty )\).