Xét được tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:

a) \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 8x\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\) là hàm số liên tục trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

c) \(f(x) = \frac{{\sin x + 1}}{{x + 1}}\) là hàm số liên tục trên các khoảng \(( - \infty ;0),(0; + \infty )\).

d) \(f(x) = \sqrt {x - 2} \) là hàm số liên tục trên nửa khoảng \([2; + \infty )\).

a) Vì \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 8x\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Vì \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\) là hàm phân thức có tập xác định \(( - \infty ;0) \cup (0;3) \cup (3; + \infty )\) nên hàm số liên tục trên các khoảng \(( - \infty ;0),(0;3),(3; + \infty )\).

c) Tập xác định của hàm số \(f(x) = \frac{{\sin x + 1}}{{x + 1}}\) là \(( - \infty ; - 1) \cup ( - 1; + \infty )\).

Trên các khoảng đó, hàm lượng giác \(y = \sin x + 1\) (tử thức) và hàm số đa thức \(y = x + 1\) (mẫu thức) đều liên tục.

Do vậy hàm \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \(( - \infty ; - 1),( - 1; + \infty )\).

d) Tập xác định của hàm số \(f(x) = \sqrt {x - 2} \) là \([2; + \infty )\).

Với mỗi \({x_0}\) tuỳ ý thuộc \((2; + \infty )\), ta luôn có \(f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \sqrt {{x_0} - 2} \); vì vậy hàm số liên tục trên khoảng \((2; + \infty )\). (1)

Mặt khác: \(f(2) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 0\) nên \(f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\); suy ra hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số \(f(x)\) liên tục trên nửa khoảng \([2; + \infty )\).