Câu hỏi:

06/10/2025 55 Lưu

Xét được tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:

a) \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 8x\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\) là hàm số liên tục trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).

c) \(f(x) = \frac{{\sin x + 1}}{{x + 1}}\) là hàm số liên tục trên các khoảng \(( - \infty ;0),(0; + \infty )\).

d) \(f(x) = \sqrt {x - 2} \) là hàm số liên tục trên nửa khoảng \([2; + \infty )\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

 

a) Vì \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 8x\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Vì \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\) là hàm phân thức có tập xác định \(( - \infty ;0) \cup (0;3) \cup (3; + \infty )\) nên hàm số liên tục trên các khoảng \(( - \infty ;0),(0;3),(3; + \infty )\).

c) Tập xác định của hàm số \(f(x) = \frac{{\sin x + 1}}{{x + 1}}\)\(( - \infty ; - 1) \cup ( - 1; + \infty )\).

Trên các khoảng đó, hàm lượng giác \(y = \sin x + 1\) (tử thức) và hàm số đa thức \(y = x + 1\) (mẫu thức) đều liên tục.

Do vậy hàm \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \(( - \infty ; - 1),( - 1; + \infty )\).

d) Tập xác định của hàm số \(f(x) = \sqrt {x - 2} \)\([2; + \infty )\).

Với mỗi \({x_0}\) tuỳ ý thuộc \((2; + \infty )\), ta luôn có \(f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \sqrt {{x_0} - 2} \); vì vậy hàm số liên tục trên khoảng \((2; + \infty )\). (1)

Mặt khác: \(f(2) = 0\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 0\) nên \(f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\); suy ra hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số \(f(x)\) liên tục trên nửa khoảng \([2; + \infty )\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

A. Hàm số liên tục tại \(x = 2\).                 
B. Hàm số gián đoạn tại \(x = 2\).
C. \(f\left( 4 \right) = 2\).                                                             
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 2\).

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)\)\( = 4\)

\(f\left( 2 \right) = 4\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)

Vậy hàm số liên tục tại \(x = 2\).

Câu 2

A. \(y\) liên tục phải tại \(x = 1\).              
B. \(y\) liên tục tại \(x = 1\).
C. \(y\) liên tục trái tại \(x = 1\).                
D. \(y\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(y\left( 1 \right) = 1\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + x + {x^2}} \right) = 4\)

Nhận thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = y\left( 1 \right)\). Suy ra \(y\) liên tục phải tại \(x = 1\).

Câu 4

A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng không liên tục tại điểm \(x = 0\).
B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \(x = 0\) nhưng không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
C. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
D. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục và không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP