B. Tự luận

Kết quả khảo sát những bệnh nhân là học sinh bị tai nạn xe máy điện về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy:

Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là \(60\% \).

Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là \(90\% \).

Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách và bị chấn thương vùng đầu là \(15\% \).

Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách đối với học sinh khi di chuyển bằng xe máy điện sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn bao nhiêu lần?

Giả sử \(T\) là biến cố “ Gặp sinh viên thi trượt môn Toán”, có \(P\left( T \right) = 0,3\).

\(L\) là biến cố “Gặp sinh viên thi trượt môn Tâm lý”, có \(P\left( L \right) = 0,22\). Khi đó \(P\left( {L|T} \right) = 0,4\).

Sơ đồ hình cây:

a) Sai. Vì xác suất gặp sinh viên thi trượt cả môn Toán và Tâm Lý là:

\(P\left( {TL} \right) = P\left( T \right)P\left( {L|T} \right) = 0,3.0,4 = 0,12\).

b) Đúng. Xác suất gặp sinh viên đậu cả môn Toán và Tâm lý là

\(P\left( {\overline {TL} } \right) = 1 - P\left( {T \cup L} \right) = 1 - P\left( T \right) - P\left( L \right) + P\left( {TL} \right) = 1 - 0,3 - 0,22 + 0,12 = 0,6\).

c) Sai. Xác suất gặp sinh viên đậu môn Toán, biết rằng sinh viên này trượt môn Tâm lý là

\(P\left( {\overline T |L} \right) = \frac{{P\left( {\overline T L} \right)}}{{P\left( L \right)}} = \frac{{P\left( L \right) - P\left( {TL} \right)}}{{P\left( L \right)}} = \frac{{0,22 - 0,12}}{{0,22}} = 0,45\).

d) Đúng. Theo công thức tính xác suất toàn phần, xác suất gặp sinh viên đậu môn Tâm lý là

\(P\left( {\overline L } \right) = P\left( T \right).P\left( {\overline L |T} \right) + P\left( {\overline T } \right).P\left( {\overline L |\overline T } \right) = 0,3.0,6 + 0,7.0,78 = 0,726\).

Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một thùng hàng trong kho.

Gọi \(A\) là biến cố: “Chọn được thùng hàng loại I”.

\(B\) là biến cố: “Chọn được thùng hàng đã được kiểm định”.

Theo bài ra ta có \[P\left( {B\left| A \right.} \right) = 80\% ,\,\,P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 85\% \].

a) Đúng. Xác suất chọn được thùng hàng loại I là \(P\left( A \right) = \frac{{480}}{{1000}} = 48\% \).

b) Sai. Ta có \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{520}}{{1000}} = 52\% \), \[P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 85\% \].

Xác suất chọn được thùng hàng loại II đã được kiểm định là

\(P\left( {\overline A  \cap B} \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 52\% .85\%  = 44,2\% \).

c) Đúng. Xác suất chọn được thùng hàng đã được kiểm định là

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 48\% .80\%  + 52\% .85\%  = 82,6\% \).

Suy ra xác suất chọn được thùng hàng chưa kiểm định là \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 17,4\% \).

d) Sai. Giả sử thùng hàng được lấy ra là thùng hàng chưa được kiểm định.

Xác suất thùng hàng đó là thùng loại I là \(P\left( {A\left| {\overline B } \right.} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B \left| A \right.} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{48\% .\left( {1 - 80\% } \right)}}{{17,4\% }} = \frac{{16}}{{29}}\).

Xác suất thùng hàng đó là thùng loại II là \(P\left( {\overline A \left| {\overline B } \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B \left| A \right.} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{52\% .\left( {1 - 85\% } \right)}}{{17,4\% }} = \frac{{13}}{{29}}\).

Vây xác suất thùng hàng đó là thùng loại I cao hơn xác suất thùng hàng đó là thùng loại II.