Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở 180 người và 8 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe \(A\) và \(B\), trong đó xe \(A\) có 10 chiếc và xe \(B\) có 9 chiếc. Một xe loại \(A\) cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại \(B\) cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại \(A\) có thể chở tối đa 30 người và 0,8 tấn hàng, mỗi xe loại \(B\) có thể chở tối đa 20 người và 1,6 tấn hàng. Tìm số xe mỗi loại sao cho chi phí thuê là thấp nhất.

Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) là: \(1,5x + 1,2y \le 10\).

Miền nghiệm của bất phương trình \(1,5x + 1,2y \le 10\) là nửa mặt phẳng bờ

là đường thẳng \(d:1,5x + 1,2y = 10\) chứa điểm \(O(0;0)\), được biểu diễn là miền không bị gạch chéo, tính cả bờ \(d:1,5x + 1,2y = 10\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\)

Vẽ đường thẳng \({d_1}:2x - y - 4 = 0\) đi qua hai điểm \((0; - 4)\) và \((2;0)\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}: - x + y - 1 = 0\) đi qua hai điểm \((0;1)\) và \(( - 1;0)\).

Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 2 = 0\) đi qua hai điểm \((0;2)\) và \((2;0)\).

Xét điểm \(M(2;2)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(ABC\) bao gồm cả các cạnh \(AB,BC\) và \(AC\) trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\).

Điểm \(A = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là

nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + y = 1}\\{x + y = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{?}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Điểm \(B = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điềm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{ - x + y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(5;6)\).

Điểm \(C = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{x + y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).

Ta thấy \(F = x - 3y + 1\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\).

Tại \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(F = - 3\).

Tại \(B(5;6)\) thì \(F = - 12\)

Tại \(C(2;0)\) thì \(F = 3\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1{\rm{ l\`a }}3}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\)

 khi \(x = 2,y = 0\).