Một gia đình cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất \(2,0\;kg\) thịt bò và \(1,5\;kg\) thịt lợn. Giá tiền \(1\;kg\) thịt bò là 200 nghìn đồng, \(1\;kg\) thịt lợn là 100 nghìn đồng. Gọi \(x,y\) lần lượt là số \(kg\) thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính \(4{x^2} + {y^2}\).

Gọi \(x,y(xe)\) lần lượt là số xe loại \(A\) và \(B\) cần thuê.

Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là \(F(x;y) = 5x + 4y\) (triệu đồng)

Ta có \(x\) xe loại \(A\) chở được \(30x\) người và \(0,8x\) tấn hàng; \(y\) xe loại \(B\) chở được \(20y\) người và \(1,6y\) tấn hàng.

Suy ra \(x\) xe loại \(A\) và \(y\) xe loại \(B\) chở được \(30x + 20y\) người và \(0,8x + 1,6y\) tấn hàng.

Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{30x + 20y \ge 180}\\{0,8x + 1,6y \ge 8}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y \ge 18}\\{x + 2y \ge 10}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}} \right.} \right.\) (*)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(F(x;y)\) trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ \((*)\) là tứ giác \(ABCD\) (kể cả bờ)

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;9)\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(4;3)\).

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(10;0)\).

Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(10;9)\).

Ta thấy \(F(x;y) = 5x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D\).

Tại \(A(0;9)\) thì \(F = 36\) (triệu đồng).

Tại \(B(4;3)\) thì \(F = 32\) (triệu đồng).

Tại \(C(10;0)\) thì \(F = 50\) (triệu đồng).

Tại \(D(10;9)\) thì \(F = 86\) (triệu đồng).

Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại \(A\) và 3 xe loại \(B\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\)

Vẽ đường thẳng \({d_1}:2x - y - 4 = 0\) đi qua hai điểm \((0; - 4)\) và \((2;0)\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}: - x + y - 1 = 0\) đi qua hai điểm \((0;1)\) và \(( - 1;0)\).

Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 2 = 0\) đi qua hai điểm \((0;2)\) và \((2;0)\).

Xét điểm \(M(2;2)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(ABC\) bao gồm cả các cạnh \(AB,BC\) và \(AC\) trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\).

Điểm \(A = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là

nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + y = 1}\\{x + y = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{?}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Điểm \(B = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điềm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{ - x + y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(5;6)\).

Điểm \(C = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{x + y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).

Ta thấy \(F = x - 3y + 1\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\).

Tại \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(F = - 3\).

Tại \(B(5;6)\) thì \(F = - 12\)

Tại \(C(2;0)\) thì \(F = 3\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1{\rm{ l\`a }}3}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\)

 khi \(x = 2,y = 0\).