Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở 180 người và 8 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe \(A\) và \(B\), trong đó xe \(A\) có 10 chiếc và xe \(B\) có 9 chiếc. Một xe loại \(A\) cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại \(B\) cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại \(A\) có thể chở tối đa 30 người và 0,8 tấn hàng, mỗi xe loại \(B\) có thể chở tối đa 20 người và 1,6 tấn hàng. Tìm số xe mỗi loại sao cho chi phí thuê là thấp nhất.

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tứ giác \(ABCD\) có \(A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) kể cả 4 cạnh.

Nhận thấy hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình gồm 4 bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm \(O(0;0)\) và lần lượt có các bờ là các đường thẳng \(AB,BC,CD\) và \(DA\).

Phương trình đường thẳng \(AB\):

\(\frac{{x + 3}}{{0 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} \Leftrightarrow 2x - 3y + 6 = 0.{\rm{ }}\)

Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(AB\) (tính cả bờ \(AB\)) và chứa điểm \(O\) là \(2x - 3y + 6 \ge 0\).

Phương trình đường thẳng \(BC:\frac{{x - 0}}{{3 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(BC\) (tính cả bờ \(BC\)) và chứa điểm \(O\) là \(x + 3y - 6 \le 0\).

Phương trình đường thẳng \(CD:x - 3 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(CD\) (tính cả bờ \(CD\)) và chứa điểm \(O\) là \(x - 3 \le 0\).

Phương trình đường thẳng \(DA:\frac{{x + 3}}{{3 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{ - 2 - 0}} \Leftrightarrow x + 3y + 3 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(DA\) (tính cả bờ \(DA\) ) và chứa điểm \(O\) là \(x + 3y + 3 \ge 0\).

Hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y + 6 \ge 0}\\{x + 3y - 6 \le 0}\\{x - 3 \le 0}\\{x + 3y + 3 \ge 0}\end{array}} \right.(1)\)

Điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó khi và chỉ khi \((m;m - 1)\) là một nghiệm của hệ \((1)\), tức là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m - 3(m - 1) + 6 \ge 0}\\{m + 3(m - 1) - 6 \le 0}\\{m - 3 \le 0}\\{m + 3(m - 1) + 3 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 9}\\{m \le \frac{9}{4}}\\{m \le 3}\\{m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{9}{4}} \right.} \right.\)

Vậy các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(0 \le m \le \frac{9}{4}\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\). Vẽ đường thẳng \({d_1}:x - y - 6 = 0\) đi qua hai điểm \((0; - 6)\) và \((6;0)\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}:x - 2 = 0\) đi qua hai điểm \((2;0)\) và \((2;2)\).

Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 4 = 0\) đi qua hai điểm \((0;4)\) và \((4;0)\).

Xét điểm \(M(3;0)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(ABC\) bao gồm cả các cạnh \(AB,BC\) và \(AC\) trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\).

Điểm \(A = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(2;2)\).

Điểm \(B = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 6 = 0}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(5; - 1)\)

Điểm \(C = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x - y - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y =  - 4}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(2; - 4)\).

Ta thấy \(F = 3y - 2x\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\).

Tại \(A(2;2)\) thì \(F = 2\).

Tại \(B(5; - 1)\) thì \(F =  - 13\)

Tại \(C(2; - 4)\) thì \(F =  - 16\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\) là -16 khi \(x = 2,y =  - 4\).