Cho tam giác ABC có \(A(0;3);B( - 1;2);C(2;1)\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để điểm \(M\left( {m;\frac{{2m - 1}}{2}} \right)\) nằm bên trong tam giác ABC?

Do \(x > 0,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) nên ta có \(\frac{y}{3} < 1 \Leftrightarrow y < 3\)

Do \(y\) nguyên dương nên \(y \in \{ 1;2\} \).

Với \(y = 1\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{2} + \frac{1}{3} - 1 \le 0}\\{x > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 1} \right.\).

Với \(y = 2\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{2} + \frac{2}{3} - 1 \le 0}\\{x > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow x \in \emptyset } \right.\).

Vậy bất phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) có nghiệm nguyên dương là \((1;1)\).

Miền nghiệm của hệ đã cho là miền trong tam giác \[ABC\](Kể cả đường biên) trong đó \[A\left( {1;1} \right)\], \[B\left( {2;4} \right)\],\[C\left( {3;5} \right)\].

Giá trị lớn nhất của \[T = 3x + 2y\] đạt được tại các đỉnh của tam giác \[ABC\].

Do \[{T_A} = T\left( {1;1} \right) = 3.1 + 2.1 = 5\], \[{T_B} = T\left( {2;4} \right) = 3.2 + 2.4 = 14\] và \[{T_C} = T\left( {3;5} \right) = 3.3 + 2.5 = 25\] nên giá trị lớn nhất của \[T = 3x + 2y\] là \[25\] đạt được khi \[x = 3\] và \[y = 5\].