Cho $\sin \alpha =\frac{2}{3}\left(0^{°}<\alpha <{90}^{°}\right)$. Khi đó:

a) \(\cos \alpha  < 0\)

b) \({\cos ^2}\alpha  = \frac{5}{9}\)

c) \(\cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

d) \(\frac{{\sin \alpha  + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }}\)

Vì \(\cot \alpha  =  - 3\)nên \(\sin \alpha  \ne 0.\) Chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \({\sin ^3}\alpha \), ta có:

\(P = \frac{{1 + {{\cot }^3}\alpha }}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\left( {1 - \cot \alpha } \right)}} = \frac{{1 + {{\cot }^3}\alpha }}{{\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\left( {1 - \cot \alpha } \right)}} = \frac{{1 + {{\left( { - 3} \right)}^3}}}{{\left[ {1 + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right]\left[ {1 - \left( { - 3} \right)} \right]}} =  - \frac{{13}}{{20}}\)

Chọn D

Do \(\cot \alpha  =  - a\), \(a > 0\) nên \({90^0} < \alpha  < {180^0}\) suy ra \(\cos \alpha  < 0\).

Mặt khác, \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }}\) \( \Leftrightarrow \tan \alpha  = \frac{{ - 1}}{a}\).

Mà ta lại có \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) \( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\) \( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}\).

Khi đó \(\cos \alpha  =  - \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}\) và do \(a > 0\) nên \(\cos \alpha  =  - \frac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}\).