Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{x}{{x + 1}} - \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right):\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 1}}\).

        a) Điều kiện xác định của \(P\) là \(x \ne \pm 1\).

        b) Rút gọn được \(P = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}\).

        c) \(P\) không xác định khi \(\left| {2x - 1} \right| = 3\).

        d) GTLN của \(P = 8\) khi \(x > 2.\)

a) Sai

Điều kiện xác định của \(P\) là \(x + 1 \ne 0;{\rm{ }}1 - x \ne 0;{\rm{ }}x - 2 \ne 0\) và \({x^2} - 1 \ne 0\).

Suy ra \(x \ne \pm 1\) và \(x \ne 2\).

b) Đúng

Với \(x \ne \pm 1\), \(x \ne 2\) ta có: \(P = \left( {\frac{x}{{x + 1}} - \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right):\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 1}}\)

                                 \( = \left[ {\frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}} - \frac{{1 \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}}} \right]:\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 1}}\)

                                \( = \frac{{x - {x^2} - x - 1 + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\)

                                \( = \frac{{ - {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\)

                               \( = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}\).

c) Đúng

Với \(\left| {2x - 1} \right| = 3\), ta có:

TH1. \(2x - 1 = 3\) suy ra \(2x = 4\) nên \(x = 2\).

TH2. \(2x - 1 = - 3\) suy ra \(2x = - 2\) nên \(x = - 1\).

Vì điều kiện xác định của \(P\) là \(x \ne \pm 1\) và \(x \ne 2\).

Nên \(P\) không xác định khi \(\left| {2x - 1} \right| = 3\).

d) Đúng

Với \(x > 2\) thì \(x - 2 > 0\).

Ta có: \(P - 8 = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - 8 = \frac{{{x^2} - 8x + 16}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{{x - 2}}\).

Nhận thầy \({\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x.\)

Do đó, \(\frac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{{x - 2}} \ge 0\) hay \(P - 8 \ge 0\) nên \(P \ge 8\) với \(x > 2\).