Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{2}{{2 - x}}} \right):\left( {1 - \frac{x}{{x + 2}}} \right)\).

        a) Điều kiện xác định  của \(A\) là \(x \ne \pm 2\).

        b) Thu gọn được \(A = \frac{3}{{x - 2}}.\)

        c) Giá trị của \(A = - 1\) tại \(x = 5\).

        d) Có 4 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn để \(A\) có giá trị là số nguyên.

a) Đúng

Điều kiện xác định của \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0;{\rm{ }}x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\).

Do đó, \(x \ne \pm 2\).

b) Sai

Với \(x \ne \pm 2\), ta có: \(A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{2}{{2 - x}}} \right):\left( {1 - \frac{x}{{x + 2}}} \right)\)

                                  \( = \left[ {\frac{x}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{2 \cdot \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{x + 2 - x}}{{x + 2}}} \right)\)

                                  \( = \frac{{x + x - 2 - 2x - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}:\frac{2}{{x + 2}}\)

                                 \( = \frac{{ - 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\frac{{x + 2}}{2}\)

                                 \( = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\).

c) Đúng

Tại \(x = 5\), thay vào \(A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\), ta được: \(A = \frac{{ - 3}}{{5 - 2}} = \frac{{ - 3}}{3} = - 1\).

d) Đúng

Để \(A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{ - 3}}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\), suy ra \( - 3 \vdots \left( {x - 2} \right)\) hay \(x - 2\) phải là ước của \( - 3\).

Do đó, \(\left( {x - 2} \right) \in \left\{ { - 1;1;3; - 3} \right\}\) suy ra \(x \in \left\{ {1;3; - 1;5} \right\}\).

Do đó, có 4 giá trị nguyên thỏa mãn để \(A\) có giá trị là số nguyên.