Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\]. Gọi \[M,\,N\] lần lượt thuộc cạnh \[SB,\,SC\] sao cho \[SM = \frac{1}{2}SB,\,SN = \frac{1}{2}SC\].

a) Chứng minh \[MN\] song song với \[BC\].

b) Gọi \[\left( \alpha \right)\] là mặt phẳng chứa \[DM\] và song song với \[AC\], cắt \[BC,\,SC\] lần lượt tại \[P,\,K\]. Chứng minh \[K\] là trọng tâm tam giác \[SBP\].

a) Giá trị xe của ông An còn lại sau 16 năm:

\(1,2 \cdot {10^9} \cdot {\left( {1 - 8\% } \right)^{10}}{\left( {1 - 20\% } \right)^6} \approx 136\,647\,000\) (đồng).

b) Tổng số tiền ông An mua bảo hiểm xe trong suốt 16 năm đầu: \(S = {S_{10}} + {S'_6}\)

Với \({S_{10}}\) là tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân với \({u_1} = 1,2 \cdot {10^9} \cdot 1,55\% \), \(q = 1 - 8\% = 0,92\).

Với \({S'_6}\) là tổng 6 số hạng đầu của cấp số nhân với \({u'_1} = 1,2 \cdot {10^9} \cdot {\left( {1 - 8\% } \right)^{10}} \cdot 1,55\% \), \(q' = 1 - 20\% = 0,8\).

Ta tính được \({S_{10}} = 131\,\,504\,684,4\); \({S'_6} = 29\,807\,999,84\).

Khi đó, \(S = {S_{10}} + {S'_6} = 161\,312\,684,2 \approx 161\,313\,000\) (đồng).

Vậy, tổng số tiền ông An mua bảo hiểm xe trong suốt 16 năm đầu là \(161\,313\,000\) đồng.

a) Đúng. Phương trình có nghĩa khi \(1 + \sin 3x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 3x \ne - 1\).

b) Đúng. Với điều kiện phương trình có nghĩa: \[\frac{{\cos 3x}}{{1 + \sin 3x}} = 0 \Leftrightarrow \cos 3x = 0\].

c) Đúng. Với \(x = \frac{{5\pi }}{6}\), ta có \[\frac{{\cos \left( {3 \cdot \frac{{5\pi }}{6}} \right)}}{{1 + \sin \left( {3 \cdot \frac{{5\pi }}{6}} \right)}} = \frac{0}{2} = 0\]. Vậy \(x = \frac{{5\pi }}{6}\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

d) Sai. Với điều kiện: \(\sin 3x \ne - 1\), ta có \[\frac{{\cos 3x}}{{1 + \sin 3x}} = 0 \Leftrightarrow \cos 3x = 0\].

Vì \({\sin ^2}3x + {\cos ^2}3x = 1\) nên \(\cos 3x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}3x = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 1\\\sin 3x = - 1\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(\sin 3x \ne - 1\), ta được \(\sin 3x = 1\)\( \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\).

Theo giả thiết ta có \(x > 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3} > 0\)\( \Leftrightarrow k > - \frac{1}{4}\). Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \({k_{\min }} = 0\).

Khi đó nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{6}\).

\( \Rightarrow a = 1;b = 6 \Rightarrow {a^2} + 2b = 13\).