Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1};{x_2}\) với \({x_1} \in \left( { - 1;0} \right),{x_2} \in \left( {1;2} \right)\). Biết hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\). Đồ thì hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Xác định dấu của các hệ số \(a,b,c,d\).

Ta có \({\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} + 2.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + 2.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} + 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + 2.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right) + 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = {12^2} + {12^2} + {12^2} + 2.12.12.\cos 60^\circ + 2.12.12.\cos 60^\circ + 2.12.12.\cos 60^\circ \)\( = 864\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = 12\sqrt 6 \). Do đó \(a = 12\).

Trả lời: \(12\).

a) Ta có \(G\left( {\frac{{1 - 2 + 3}}{3};\frac{{ - 1 + 5 + 4}}{3};\frac{{0 + 3 + 9}}{3}} \right)\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{8}{3};4} \right)\).

b) \(M \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow M\left( {a;0;c} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1;1;c} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;6;3} \right)\)

Theo đề ta có \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương \( \Rightarrow \frac{{a - 1}}{{ - 3}} = \frac{1}{6} = \frac{c}{3}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Do đó \(a + b + c = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1\).

c) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;6;3} \right)\).

d) Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {DC} = \left( {3 - x;4 - y;9 - z} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 3\\4 - y = 6\\9 - z = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 2\\z = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6; - 2;6} \right)\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.