Trên nóc của một tòa nhà có một cột ăng – ten cao \(5{\rm{ m}}\). Từ vị trí quan sát \(A\) cao \(7{\rm{ m}}\) so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh \(B\) và đỉnh \(C\) của một cột ăng – ten dưới góc \(50^\circ \) và \(40^\circ \) so với phương nằm ngang.

a) \(CE = AE.\tan 40^\circ .\)

b) \(BE = AE.\tan 50^\circ .\)

c) \(AE = \frac{{BC}}{{\tan 40^\circ  + \tan 50^\circ }}\).

d) Chiều cao của tòa nhà lớn hơn 24 m.

B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

(1,0 điểm) Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0\) và

    a) Chứng minh rằng \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\)

    b) Tìm các giá trị của \(x\) để \(2P = 2\sqrt x + 5\).

Phần 3. (2,0 điểm) Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn

Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{4}{{1 - 9{x^2}}}\)?

Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của \[x\] thỏa mãn bất phương trình \[\frac{{4x + 9}}{3} + \frac{1}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}\].

Mặt đĩa CD có dạng vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là \[4{\rm{ cm}}\] và \[6{\rm{ cm}}\]. Hình vành khuyên đó có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

(1,5 điểm) Trên đường thẳng \(xy\), lấy lần lượt ba điểm \(A,B,C\) sao cho \(AB > BC\). Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) và đường tròn \(\left( {O'} \right)\) đường kính .

a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\). Vẽ dây \(DE\) của đường tròn \(\left( O \right)\) vuông góc với \(AC\) tại \(H\). Chứng minh tứ giác \(ADCE\) là hình thoi.

b) \(DC\) cắt đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tại \(F\). Chứng minh rằng ba điểm \(F,B,E\) thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng \(HF\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).