Trên nóc của một tòa nhà có một cột ăng – ten cao \(5{\rm{ m}}\). Từ vị trí quan sát \(A\) cao \(7{\rm{ m}}\) so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh \(B\) và đỉnh \(C\) của một cột ăng – ten dưới góc \(50^\circ \) và \(40^\circ \) so với phương nằm ngang.

a) \(CE = AE.\tan 40^\circ .\)

b) \(BE = AE.\tan 50^\circ .\)

c) \(AE = \frac{{BC}}{{\tan 40^\circ  + \tan 50^\circ }}\).

d) Chiều cao của tòa nhà lớn hơn 24 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.            b) Đúng.            c) Sai.                  d) Sai.

• Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng \(BH\).

Xét tam giác \(CAE\) vuông tại \(E\), ta có:

\(CE = AE.\tan \widehat {CAE} = AE.\tan 40^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) (1).

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác \(BAE\) vuông ở \(E\), ta có:

\(BE = AE.\tan \widehat {BAE} = AE.\tan 50^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) (2).

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) suy ra \(BC = BE - CE = AE\tan 50^\circ  - AE\tan 40^\circ \)

                                \(BC = AE\left( {\tan 50^\circ  - \tan 40^\circ } \right)\)

                                \(5 = AE\left( {\tan 50^\circ  - \tan 40^\circ } \right)\)

                               \(AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ  - \tan 40^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Do đó, ý c) là sai.

• Với \(AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ  - \tan 40^\circ }}\) suy ra \(CE = AE \cdot \tan \widehat {CAE} = \frac{5}{{\tan 50^\circ  - \tan 40^\circ }} \cdot \tan 40^\circ  \approx 11,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Chiều cao của tòa nhà là: \(5 + 11,9 + 7 \approx 23,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy tòa nhà cao \(23,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Do đó, ý d) là sai.