(1,5 điểm) Trên đường thẳng \(xy\), lấy lần lượt ba điểm \(A,B,C\) sao cho \(AB > BC\). Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) và đường tròn \(\left( {O'} \right)\) đường kính .
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\). Vẽ dây \(DE\) của đường tròn \(\left( O \right)\) vuông góc với \(AC\) tại \(H\). Chứng minh tứ giác \(ADCE\) là hình thoi.
b) \(DC\) cắt đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tại \(F\). Chứng minh rằng ba điểm \(F,B,E\) thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng \(HF\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
(1,5 điểm) Trên đường thẳng \(xy\), lấy lần lượt ba điểm \(A,B,C\) sao cho \(AB > BC\). Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) và đường tròn \(\left( {O'} \right)\) đường kính .
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\). Vẽ dây \(DE\) của đường tròn \(\left( O \right)\) vuông góc với \(AC\) tại \(H\). Chứng minh tứ giác \(ADCE\) là hình thoi.
b) \(DC\) cắt đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tại \(F\). Chứng minh rằng ba điểm \(F,B,E\) thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng \(HF\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(OO' = OB + BO'\,\,\,\,\left( {d = R + R'} \right)\)
Do đó đường tròn \(\left( O \right)\) và đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại \(B.\)
Xét \(\Delta ODE\) cân tại \(O\) (do \(OD = OE)\) nên đường cao \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó \(H\) là trung điểm của \(DE\).
Mà \[H\] lại là trung điểm của \(AC\), do đó tứ giác \(ADCE\) là hình bình hành.
Mặt khác, \(AC \bot DE\) nên hình bình hành \[ADCE\] là hình thoi.
b) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(BE \bot AE\) tại \(E\).
Mà \(AE\,{\rm{//}}\,CD\) (do \[ADCE\] là hình thoi) nên \[EB \bot CD\].
Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) đường kính \(BC\) ta có \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(BF \bot CD\) tại \(F\).
Ta có \(EB \bot CD\) và \(FB \bot CD\) suy ra \(EB\) và \(FB\) trùng nhau.
Vậy ba điểm \(F,B,E\) thẳng hàng.
c) Tam giác \(FDE\) vuông tại \(F\) có \[FH\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(DE\) nên \(FH = \frac{1}{2}DE = HD = HE.\)
Do đó \(\Delta HFD\) cân tại \(H\), do đó \(\widehat {HFD} = \widehat {HDC}\).
Mặt khác, \[O'FC\] cân tại \(O'\) (do \[O'F = O'C\]) nên \(\widehat {O'FC} = \widehat {HCD}\)
Mà \(\widehat {HDC} + \widehat {HCD} = 90^\circ \) (tam giác \[HCD\] vuông tại \[H\])
Nên \(\widehat {HFD} + \widehat {O'FC} = 90^\circ \).
Do đó \(\widehat {HFO'} = 180^\circ - \left( {\widehat {HFD} + \widehat {O'FC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
Ta có \(HF \bot O'F\) tại \(F\) và \(F\) thuộc đường tròn \(\left( {O'} \right)\) nên \[HF\] là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
Vậy \[HF\] là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{3}{4}.\)
B. \(\frac{3}{5}.\)
C. \(\frac{4}{3}.\)
D. \(\frac{4}{5}.\)
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}.\)
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có:
\(P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
\[ = \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\].
Vậy với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\)
b) Ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\).\(BC\)
Theo đề, để \(2P = 2\sqrt x + 5\) thì \(\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + 5\)
Suy ra \(2\sqrt x + 2 = 2x + 5\sqrt x \) hay \(2x + 3\sqrt x - 2 = 0\) do đó \(\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right) = 0\)
Suy ra \(\sqrt x + 2 = 0\) hoặc \(\sqrt x - \frac{1}{2} = 0\).
Do đó, \(\sqrt x = - 2\) (vô lí) hoặc \(\sqrt x = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = \frac{1}{4}\) thì \(2P = 2\sqrt x + 5\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(x \ne - 4;\,\,x \ne 2.\)
B. \(x \ne 4;\,\,x \ne - 2.\)
C. \(x \ne 4;\,\,x \ne 2.\)
D. \(x \ne 4;\,\,x \ne 2.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\sin B = \cos C.\)
B. \(\cos B = \sin C.\)
C. \(\cot B = \tan C.\)
D. \(\tan B = \frac{1}{{\cot C}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo