(1,5 điểm) Cho nửa đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Lấy \[C\] nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[K\] là trung điểm của dây cung \[BC\]. Qua \[B\] dựng tiếp tuyến với \[\left( O \right)\], cắt \[OK\] tại \[D\].

a) Chứng minh rằng \[OD \bot BC\] và \[\Delta ABC\] vuông.

b) Chứng minh \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c) Vẽ \[CH \bot AB\] tại \[H\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[CH\]. Tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn \[\left( O \right)\] cắt \[BI\] tại \[E\]. Chứng minh \[E,C,D\] thẳng hàng.

Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).

 Vòng đầu tiên của cuộc thi “Ai là Trạng Quỳnh” gồm bộ \(20\) câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được cộng \(8\) điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ \(4\) điểm. Mỗi thí sinh bắt đầu với \(10\) điểm và cần đạt ít nhất \(90\) điểm để vào vòng tiếp theo. Gọi \(x\) là số câu mà thí sinh cần trả lời đúng trong vòng đầu tiên \(\left( {x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\).

          a) Số câu hỏi thí sinh trả lời sai trong vòng đầu tiên là \(20 - x\) câu.

          b) Số điểm thí sinh có được khi xong vòng đầu tiên là \(10 + 8x + 4\left( {20 - x} \right)\) điểm.

          c) Để qua vòng tiếp theo thì điểm của thí sinh phải thỏa mãn \(10 + 8x + 4\left( {20 - x} \right) > 90\).

          d) Để qua vòng tiếp theo, mỗi thí sinh cần trả lời đúng ít nhất 14 câu.

B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

(1,0 điểm) Cho biểu thức \[T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}\] với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\].

    a) Chứng minh rằng \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].

    b) Tìm các giá trị nguyên của \[a\] để \[T\] nhận giá trị nguyên.

Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.

Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x - 2}}{x} = 2\) là

(0,5 điểm) Một khu đất có dạng nửa hình tròn với bán kính là \[14{\rm{ m}}{\rm{.}}\] Người ta muốn xây dựng một khu vui chơi hình chữ nhật ở bên trong nửa đường tròn đó như hình vẽ, biết rằng một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của nửa đường tròn. Tính diện tích lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng.

Một người quan sát một tòa nhà và đứng cách tòa nhà khoảng \[25{\rm{\;m}}\]. Góc nâng từ mắt người quan sát đến nóc tòa nhà là \[36^\circ \]. Nếu anh ta đi thêm \[5{\rm{\;m}}\] nữa, đến vị trí \[E\] nằm giữa \[C\] và \[H\], thì có góc nâng mới từ \[F\] đến nóc tòa nhà. Chiều cao \[CD\] tính từ chân đến mắt người quan sát là \[1,6{\rm{\;m}}{\rm{.}}\] (Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

a) \[AK = KD \cdot \tan 36^\circ .\]

b) \[FK = 25{\rm{\;m}}{\rm{.}}\]

c) Độ dài tòa nhà lớn hơn 20 m.