Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n,\] các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1):

        a) \(n + 5\) và \(n + 6\).                           b) \(5n + 3\) và \(3n + 2\).

b) Vì \(n \in \mathbb{Z}\) nên \(\left( {n - 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\).

Mà \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\) nên \[\left[ {\left( {n + 3} \right) - \left( {n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\] hay \[1\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\].

Do đó \(\left( {n - 2} \right) \in \)Ư\(\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.\)

⦁ Với \(n - 2 = 1,\) suy ra \(n = 3\) (thỏa mãn);

⦁ Với \(n - 2 = - 1,\) suy ra \(n = 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(n \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}.\)

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là \(b\), chiều dài hình chữ nhật nhỏ là \(a\,\,\left( {x,b > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)\).

Chu vi của khu vườn hình chữ nhật là \(\left( {2a + a + 2b} \right) \cdot 2 = 76\)

Hay \(6a + 4b = 76\) (1)

Ta có \(2a = 5b\) nên \(6a = 15b\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được \(15b + 4b = 76\) hay \(19b = 76\) nên \(b = 76:19\) suy ra \(b = 4.\)

Suy ra \(a = 10\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Suy ra chiều dài ban đầu của khu vườn là \(2 \cdot 10 = 20{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là: \(a + 2b = 10 + 2 \cdot 4 = 18{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích ban đầu của khu vườn là: \(20 \cdot 18 = 360{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là \(360{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)