Ông Thanh nuôi cá chim ở một cái ao có diện tích là \(50\;{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Vụ trước ông nuôi với mật độ là \(20\) con/m² và thu được 1,5 tấn cá. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình thì cứ thả giảm đi 8 \({\rm{con/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì mỗi con cá khi thu hoạch tăng lên 0,5kg. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu con cá giống để được tổng năng suất khi thu hoạch là cao nhất? Giả sử không có hao hụt khi nuôi.

a) Ta có \(\overrightarrow {BC} = (1;1;1)\).

Gọi \(H(x;y;z)\) là chân đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A\).

Suy ra \(\overrightarrow {BH} = (x - 1;y - 2;z - 4)\).

\(\overrightarrow {BH} \) cùng phương với \(\overrightarrow {BC} \), do đó \(x - 1 = t;y - 2 = t;z - 4 = t\), suy ra \(H(1 + t;2 + t;4 + t)\).

Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {{x_H} - {x_A};{y_H} - {y_A};{z_H} - {z_A}} \right) = (t - 6;t - 1;t + 1)\).

\(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow t - 6 + t - 1 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow 3t = 6 \Leftrightarrow t = 2\).

Suy ra \(H(3;4;6)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 6; - 1;1);\overrightarrow {AC} = ( - 5;0;2)\), suy ra

\(AB = \sqrt {{{( - 6)}^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt {38} ;AC = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {0^2} + {2^2}} = \sqrt {29} .\)

c) \(\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{30 + 0 + 2}}{{\sqrt {38} \cdot \sqrt {29} }} = \frac{{32}}{{\sqrt {38 \cdot 29} }}\), suy ra \(\widehat {{\mkern 1mu} A{\mkern 1mu} } \approx 15,43^\circ \).

a) Tam giác \(SAD\) có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều suy ra \(\widehat {SAD} = 60^\circ \).

Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) suy ra \(\left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {SAD} = 60^\circ \).

 Do đó \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos 60^\circ = a.a.\frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

b) Tứ giác \[ABCD\] là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là \(a\) nên độ dài đường chéo \[AC\] là \(\sqrt 2 a\).

Tam giác \[SAC\] có \(SA = SC = a\) và \(AC = \sqrt 2 a\) nên tam giác \[SAC\] vuông cân tại \(S\)

Suy ra \(\widehat {SAC} = 45^\circ \), do đó \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {SAC} = a.\sqrt 2 a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).