Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n,\] các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1):

a) $n + 5$ và $n + 6$. b) $5n + 3$ và $3n + 2$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 6 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Gọi ƯCLN$\left( {n + 5,\,\,n + 6} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ suy ra $\left( {n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {n + 6} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

Do đó $\left[ {\left( {n + 6} \right) - \left( {n + 5} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $1\,\, \vdots \,\,d$ nên $d = 1.$

Vậy $n + 5$ và $n + 6$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi ƯCLN$\left( {5n + 3,\,\,3n + 2} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ suy ra $\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

Từ $\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có \[3\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\] hay $\left( {15n + 9} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

Từ $\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $5\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {15n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $1\,\, \vdots \,\,d$ nên $d = 1.$

Vậy $5n + 3$ và $3n + 2$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm các số nguyên $x,\,\,y$ thỏa mãn:

c) \[xy + 2x + 3y = 0.\]

Xem đáp án

Lời giải

c) Ta có: \[xy + 2x + 3y = 0\]

$x\left( {y + 2} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 6$

$\left( {y + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 6$.

Với $x \in \mathbb{Z},$ từ $\left( {y + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 6$ ta có $x + 3 \in $Ư$\left( 6 \right) = \left\{ {1;\, - 1;\,\,2;\, - 2;\,\,3;\, - 3;\,\,6;\, - 6} \right\}$

Ta có bảng sau:

$x + 3$	$1$	$ - 1$	$2$	$ - 2$	$3$	$ - 3$	$6$	$ - 6$
$y + 2$	$6$	$ - 6$	$3$	$ - 3$	$2$	$ - 2$	$1$	$ - 1$
$x \in \mathbb{Z}$	$ - 2$	$ - 4$	$ - 1$	$ - 5$	$0$	$ - 6$	$3$	$ - 9$
$y \in \mathbb{Z}$	$4$	$ - 8$	$1$	$ - 5$	$0$	$ - 4$	$ - 1$	$ - 3$
	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 4;\,\, - 8} \right);\,\,\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\left( { - 5;\,\, - 5} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( { - 6;\,\, - 4} \right);\,\,\left( {3;\,\, - 1} \right);\,\,\left( { - 9;\,\, - 3} \right)} \right\}.$

Câu 2

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là $76\,\,{\rm{m}}$ được chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các chiều dài bằng nhau và các chiều rộng bằng nhau.

$Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là $76\,\,{\rm{m}}$ được chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các chiều dài bằng nhau và các chiều rộng bằng nhau. Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu. (ảnh 1)$

Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là $b$, chiều dài hình chữ nhật nhỏ là $a\,\,\left( {x,b > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)$.

Chu vi của khu vườn hình chữ nhật là $\left( {2a + a + 2b} \right) \cdot 2 = 76$

Hay $6a + 4b = 76$ (1)

Ta có $2a = 5b$ nên $6a = 15b$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được $15b + 4b = 76$ hay $19b = 76$ nên $b = 76:19$ suy ra $b = 4.$

Suy ra $a = 10\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Suy ra chiều dài ban đầu của khu vườn là $2 \cdot 10 = 20{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là: $a + 2b = 10 + 2 \cdot 4 = 18{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích ban đầu của khu vườn là: $20 \cdot 18 = 360{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là $360{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.$

Câu 3