Cho hàm số \(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\)

a) Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\).

b) Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại \(M\). Phương trình tiếp tuyến của tại \(M\) là \(y = 2x - 1\).

c) Tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau.

d) Để đường thẳng \(y = k\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho \(OA \bot OB\) khi đó \(k\) là nghiệm của phương trình \({k^2} - k - 1 = 0\).

Sai: \(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\). Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Đạo hàm \(y' = 1 + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \in D\): hàm số luôn luôn đồng biến, không có cực đại, cực tiểu.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1 \mp } y =  \pm \infty :x =  - 1\)là tiệm cận đứng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = x:y = x\)là tiệm cận xiên

 Đúng: \(M\left( {0;\, - 1} \right),y'\left( 0 \right) = 2\)

Phương trình tiếp tuyến \(\left( T \right)\) tại \(M:y = 2\left( {x - 0} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)

 Sai: Tiếp tuyến \(\left( {{T_1}} \right)\) của \((C)\) tại \(P\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) có hệ số góc \({k_1} = {y'_{{x_1}}} = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

Tiếp tuyến \(\left( {{T_2}} \right)\) của \((C)\) tại \(Q\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) có hệ số góc \({k_2} = {y'_{{x_2}}} = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

Do \({y'_{{x_1}}} > 0,\,{y'_{{x_2}}} > 0\) nên không thể có 2 tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc nhau

 Đúng: \(y = x - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = k\):

\(\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\{x^2} - \left( {k - 1} \right)x - \left( {k + 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Do vị trí của \(\left( C \right)\) trên hệ tọa độ \(Oxy\) có thể kết luận \(\left( * \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_A},{x_B} \ne  - 1\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} + {x_B} = k - 1}\\{{x_A}.{x_B} =  - \left( {k + 1} \right)}\end{array};\,\,A\left( {{x_A};k} \right),B\left( {{x_B};k} \right)} \right.\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A},k} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B},k} \right)\\OA \bot OB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow {x_A}{x_B} + {k^2} = 0 \Leftrightarrow  - k - 1 + {k^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\\{k = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)