Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 5{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu}  - 1} \right)\), \(B\left( {7{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} x;{\mkern 1mu} 1} \right)\), \(C\left( {9{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 2{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} y} \right)\).

a) Tích vô hướng của \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - 3x + 2y + 41\).              

b) Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì \(x + y = 5.\)

c) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì \(x = 13,y =  - 1.\)        

d) Điểm \(G\left( {\frac{{19}}{3};\frac{8}{3};3} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì \(x = 1;y = 3.\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;\,x - 5\,;\,2} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {6\,;\, - 3\,;\,y + 1} \right)\)

Để ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k.\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = k.6\\x - 5 = k\left( { - 3} \right)\\2 = k\left( {y + 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{2}{3}\\x = 3\\y = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(x + y = 5\).

b. Đúng. Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 + 7 + 9}}{3} = \frac{{19}}{3}\\\frac{{5 + x + 2}}{3} = \frac{8}{3}\\\frac{{ - 1 + 1 + y}}{3} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right..\)

c. Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;\,x - 5\,;\,2} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {6\,;\, - 3\,;\,y + 1} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 24 + (x - 5)( - 3) + 2(y + 1)\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

d. Đúng. Vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 24 + (x - 5)( - 3) + 2(y + 1) =  - 3x + 2y + 41.\)