Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 5{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu}  - 1} \right)\), \(B\left( {7{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} x;{\mkern 1mu} 1} \right)\), \(C\left( {9{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 2{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} y} \right)\).

a) Tích vô hướng của \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - 3x + 2y + 41\).              

b) Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì \(x + y = 5.\)

c) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì \(x = 13,y =  - 1.\)        

d) Điểm \(G\left( {\frac{{19}}{3};\frac{8}{3};3} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì \(x = 1;y = 3.\)

Gọi tọa độ điểm \(B\left( {550;\,y;\,z} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {540;\,y - 3;\,z} \right)\).

Do đường đi của cabin cùng phương với vectơ \(\vec u = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)\) nên ta có:

\(\frac{{540}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 3 =  - 540}\\{z = 270\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y =  - 537}\\{z = 270}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow B\left( {550;\, - 537;\,270} \right)\).

Quãng đường \(AB\) bằng \(AB = \sqrt {{{540}^2} + {{\left( { - 537 - 3} \right)}^2} + {{270}^2}}  = 810\).

Vận tốc của cabin bằng \(v = \frac{{AB}}{{3.60}} = 4,5\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Thời gian để cabin chuyển động đều từ điểm \(A\) đến điểm \(D\) là: \(\frac{{3780}}{{4,5}} = 840\).

Gọi điểm thắt một đầu bên trên là \[O\] và \[3\] điểm nối \[3\] sợi dây với giá gỗ tạo thành tam giác đều \[ABC\]. Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].

Vì tam giác \[ABC\] đều nên \[G\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Do đó, \[GA = GB = GC = 20cm\]. Gọi \[F\] là độ lớn của các lực căng \[{F_1},{F_2}\;,{F_3}\] trên mỗi sợi dây. Đặt \[F = \;x\] với \[0 < x \le 15\].

Theo bài ra ta có \[OA = OB = OC = 60cm\] nên \[OG \bot \left( {ABC} \right)\] và \[\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = 60\]

Do đó, \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\]. Từ đó ta có \[\overrightarrow {{F_1}}  = \frac{x}{{60}}\overrightarrow {OA} ,  \overrightarrow {{F_2}}  = \frac{x}{{60}}\overrightarrow {OB} ,  \overrightarrow {{F_3}}  = \frac{x}{{60}}\overrightarrow {OC} \].

Suy ra \[\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \frac{x}{{60}}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{{3x}}{{60}}\overrightarrow {OG}  = \frac{x}{{20}}\overrightarrow {OG} \].

Mặt khác, ta lại có \[\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P \] với \[\overrightarrow P \] là trọng lượng của giá gỗ và các chậu hoa.

Nên ta có \[\left| {\overrightarrow P } \right| = \frac{x}{{20}}\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = \frac{{x\sqrt {{{60}^2} - {{20}^2}} }}{{20}} = x\sqrt 8  \le 15\sqrt 8 \].

Vậy giá trị lớn nhất trọng lượng giá gỗ và chậu hoa là \[\max \left| {\overrightarrow P } \right| = 15\sqrt 8 .\]

Suy ra trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt là \[15\sqrt 8  - 5 \approx 37,4\left( N \right)\].