Với các số đo trên hình vẽ sau, chiều cao \(h\) của tháp nghiêng Pisa gần giá trị nào nhất?

Gọi \(x\) (tấn) và \(y\) (tấn) lần lượt là số lượng thức ăn loại A và loại B mà nhà máy nên sản xuất. Theo đề bài ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 120\\2x + 4y \le 160\\x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 120\\x + 2y \le 80\\x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất \(x\) tấn thức ăn loại A và \(y\) tấn thức ăn loại B là:

\(T = 20x + 30y\)(triệu đồng)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ:

Vậy miền nghiệm của hệ là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),{\rm{ }}A\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right),{\rm{ }}B\left( {\frac{{200}}{7};\frac{{120}}{7}} \right),{\rm{ }}C\left( {40;0} \right)\)

\(T = 20x + 30y\)đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{7600}}{7} \approx 1086\) tại \(x = \frac{{200}}{7},{\rm{ }}y = \frac{{120}}{7}\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà nhà máy thu được là 1086 triệu đồng.

Ta có \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \).

Từ đó suy ra \(\frac{1}{{\frac{4}{9}}} = 1 + {\cot ^2}\alpha  \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha  = \frac{5}{4}\)\( \Leftrightarrow \cot \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Vì \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ  \Rightarrow \cot \alpha  < 0\). Từ đó suy ra \(\cot \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Mặt kháC. \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{1}{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{2}}} =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \(\tan \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).