Cho tập \(M\) có 100 số tự nhiên mà mỗi số hoặc chia hết cho 5 hoặc chia hết cho 7 hoặc chia hết cho cả 5 và 7. Biết rằng trong số đó có 71 số chia hết cho 5 và 63 số chia hết cho 7. Hỏi tập \(M\) có bao nhiêu số chia hết cho 35 ?

Gọi \(x\) (tấn) và \(y\) (tấn) lần lượt là số lượng thức ăn loại A và loại B mà nhà máy nên sản xuất. Theo đề bài ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 120\\2x + 4y \le 160\\x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 120\\x + 2y \le 80\\x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất \(x\) tấn thức ăn loại A và \(y\) tấn thức ăn loại B là:

\(T = 20x + 30y\)(triệu đồng)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ:

Vậy miền nghiệm của hệ là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),{\rm{ }}A\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right),{\rm{ }}B\left( {\frac{{200}}{7};\frac{{120}}{7}} \right),{\rm{ }}C\left( {40;0} \right)\)

\(T = 20x + 30y\)đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{7600}}{7} \approx 1086\) tại \(x = \frac{{200}}{7},{\rm{ }}y = \frac{{120}}{7}\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà nhà máy thu được là 1086 triệu đồng.

Nếu \(m = 5\) thì \(A \cap B = \{ 5\} \).

Nếu \(m < 5\) thì \(A \cap B = \emptyset \).

Nếu \(m > 5\) thì \(A \cap B = [5;m]\).

Nếu \(m = 9\) thì \(A \cup B = ( - \infty ; + \infty )\).

(Đúng) Nếu \(m = 5\) thì \(A \cap B = \{ 5\} \).

(Vì): Khi \(m = 5\), \(A = ( - \infty ;5]\) và \(B = [5; + \infty )\). Do đó \(A \cap B = \{ 5\} \).

(Đúng) Nếu \(m < 5\) thì \(A \cap B = \emptyset \).

(Vì): Khi \(m < 5\), \(A = ( - \infty ;m]\) và \(B = [5; + \infty )\). Hai nửa khoảng này không có phần tử chung. Do đó, \(A \cap B = \emptyset \).

(Đúng) Nếu \(m > 5\) thì \(A \cap B = [5;m]\).

(Vì): Khi \(m > 5\), \(A = ( - \infty ;m]\) và \(B = [5; + \infty )\). Phần giao của hai tập này là các giá trị \(x\) sao cho \(5 \le x \le m\). Do đó, \(A \cap B = [5;m]\).

(Đúng) Nếu \(m = 9\) thì \(A \cup B = ( - \infty ; + \infty )\).

(Vì): Khi \(m = 9\), \(A = ( - \infty ;9]\) và \(B = [5; + \infty )\). Hợp của hai tập này là \(( - \infty ; + \infty )\).