Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {3{m^2} - 2} \right)x - 2}}{{x + 3m}}\) \(\left( 1 \right)\) với \(m\) là số thực.

              a) Khi \(m = 1\) giao điểm của đường tiệm cận xiên và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {3; - 5} \right)\).

              b) Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).

              c) Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.

              d) Có 2 giá trị \(m\) để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số \(\left( 1 \right)\) bằng \({45^0}\).

$\begin{array}{l}\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{c}\text{ thì }\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=6,\left|\overrightarrow{c}\right|=9,(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{c};\overrightarrow{a})={60}^{°}\\ \text{Ta có: }\\ \overrightarrow{F_{hl}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\text{Invalid <m:msup> element}\overrightarrow{c}\Rightarrow {\left|\overrightarrow{F_{hl}}\right|}^2==|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2+|\overrightarrow{c}{|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\\ =9+36+81+18+54+27=225\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_{hl}}\right|=25( N)\end{array}$

Ta có mặt cắt qua trục hình nón như hình vẽ. Đặt \(x\) là bán kính đáy hình trụ, \(h\) là chiều cao của hình trụ.

Ta có hai tam giác \(SAI\) và \(SA'I'\) đồng dạng.

\( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SI'}} = \frac{{AI}}{{A'I'}} \Leftrightarrow \frac{6}{{6 - h}} = \frac{2}{x} \Rightarrow h = 6 - 3x\), với \(0 < x < 2\)Sai.

Ta có:

Chiều cao của khối trụ tính theo bán kính đáy hình trụ là \(h =  - 3x + 6\) với \(0 < x < 2\).

Suy ra: Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).Đúng.

Bác thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao

Suy ra: \(x = 6 - 3x \Rightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow V = \pi  \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \), khi đó thể tích của khối trụ là \[V = \pi  \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{27}}{8}\pi \left( {{m^3}} \right).\]Đúng.

Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).

Xét hàm số \[V = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).

\[V' = \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right)\].

\[V' = 0 \Leftrightarrow \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0{\rm{ }}\,\left( l \right)\\x = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \({V_{\max }} = \frac{{32\pi }}{9}\left( {{m^3}} \right)\) khi \(x = \frac{4}{3}\).