(1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\), \(AC = 10\) và đường trung tuyến \(AM = 6\). Tính độ dài cạnh \(BC\) và diện tích tam giác \(ABC\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đáp án A ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \) (theo quy tắc ba điểm) nên \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} \) là mệnh đề sai.

Xét đáp án B ta có: \(\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB} \) (theo quy tắc hình bình hành) là mệnh đề đúng.

Xét đáp án C ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \) (theo quy tắc ba điểm). Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} \) là một mệnh đề đúng.

Xét đáp án D ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (theo quy tắc hình bình hành) là một mệnh đề đúng.

Hướng dẫn giải

Gọi số bánh trưng được gói là \(x\) (bánh), số bánh ống được gói là \(y\) (bánh) \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).

Khi đó số điểm thưởng là \(f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 6y\).

Số \(kg\) gạo nếp cần dùng là: \(0,4x + 0,6y\,\left( {kg} \right)\).

Số \(kg\)thịt ba chỉ cần dùng là: \(0,05x + 0,075y\,\,\left( {kg} \right)\).

Số \(kg\) đậu xanh cần dúng là: \(0,1x + 0,15y\,\left( {kg} \right)\).

Vì yêu cầu cuộc thi là sử dụng tối đa \(20kg\) gạo nếp, \(2kg\) thịt ba chỉ và \(5kg\) đậu xanh nên ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0,4x + 0,6y \le 20\\0,05x + 0,075y \le 2\\0,1x + 0,15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Vậy miền nghiệm là phần miền trong tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,0} \right),A\left( {0;\,\,\frac{{80}}{3}} \right),B\left( {40;\,\,0} \right)\) như hình vẽ sau:

Biểu thức \(f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 7y\) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi \(\left( {x;\,y} \right)\) là toạ độ một trong các đỉnh \(O\left( {0;\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right),\,\,B\left( {40;\,0} \right)\).

Ta có:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(f\left( {0;\,0} \right) = 5.0 + 6.0 = 0\);

Tại \(A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right)\) có \(f\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right) = 5.0 + 6.\frac{{80}}{3} = 160\);

Tại \(B\left( {40;\,\,0} \right)\) có \(f\left( {40;\,0} \right) = 5.40 + 7.0 = 200\).

Suy ra \(f\left( {x;\,y} \right)\) lớn nhất bằng \(200\) khi \(x = 40\) và \(y = 0\).

Vậy để được điểm thưởng lớn nhất thì cần gói \(40\) cái bánh trưng và \(0\) cái bánh ống.