(1,0 điểm) Trong một cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \(20kg\) gạo nếp, \(2kg\) thịt ba chỉ và \(5kg\) đậu xanh để gói bánh trưng và bánh ống. Để gói một cái bánh trưng cần \(0,4kg\), gạo nếp, \(0,05kg\) thịt ba chỉ và \(0,1kg\) đậu xanh. Để gói một cái bánh ống cần \(0,6kg\) gạo nếp, \(0,075kg\) thịt ba chỉ và \(0,15kg\) đậu xanh. Mỗi cái bánh trưng được \(5\) điểm thưởng, mỗi cái bánh ống được \(6\) điểm thưởng. Vậy cần phải gói mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi số bánh trưng được gói là \(x\) (bánh), số bánh ống được gói là \(y\) (bánh) \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).

Khi đó số điểm thưởng là \(f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 6y\).

Số \(kg\) gạo nếp cần dùng là: \(0,4x + 0,6y\,\left( {kg} \right)\).

Số \(kg\)thịt ba chỉ cần dùng là: \(0,05x + 0,075y\,\,\left( {kg} \right)\).

Số \(kg\) đậu xanh cần dúng là: \(0,1x + 0,15y\,\left( {kg} \right)\).

Vì yêu cầu cuộc thi là sử dụng tối đa \(20kg\) gạo nếp, \(2kg\) thịt ba chỉ và \(5kg\) đậu xanh nên ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0,4x + 0,6y \le 20\\0,05x + 0,075y \le 2\\0,1x + 0,15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Vậy miền nghiệm là phần miền trong tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,0} \right),A\left( {0;\,\,\frac{{80}}{3}} \right),B\left( {40;\,\,0} \right)\) như hình vẽ sau:

Biểu thức \(f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 7y\) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi \(\left( {x;\,y} \right)\) là toạ độ một trong các đỉnh \(O\left( {0;\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right),\,\,B\left( {40;\,0} \right)\).

Ta có:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(f\left( {0;\,0} \right) = 5.0 + 6.0 = 0\);

Tại \(A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right)\) có \(f\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right) = 5.0 + 6.\frac{{80}}{3} = 160\);

Tại \(B\left( {40;\,\,0} \right)\) có \(f\left( {40;\,0} \right) = 5.40 + 7.0 = 200\).

Suy ra \(f\left( {x;\,y} \right)\) lớn nhất bằng \(200\) khi \(x = 40\) và \(y = 0\).

Vậy để được điểm thưởng lớn nhất thì cần gói \(40\) cái bánh trưng và \(0\) cái bánh ống.