Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x + 1,\) \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 1\).

a) Đúng. Với \(m = 0\) thì ta có: \(\left( {d'} \right):y = - 2x + 2.\)

Nhận thấy lúc này hai hệ số góc của hai đường thẳng khác nhau, do đó \(\left( d \right),\left( {d'} \right)\) cắt nhau.

b) Sai. Với \(m = 2\) thì \(\left( {d'} \right):y = 0x + 4\) hay \(\left( {d'} \right):y = 4\).

Do đó, khi \(m = 2\) thì hai đường thẳng cắt nhau.

c) Sai. Khi \(m = 0\) thì \(\left( {d'} \right):y = - 2x + 2.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng, ta có:

\(2x + 4 = - 2x + 2\) hay \(4x = - 2\) và \(x = - \frac{1}{2}.\)

Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào \(\left( d \right):y = 2x + 4\) được \(y = 3.\)

Do đó, khi \(m = 0\) thì hai đường thẳng cùng đi qua điểm \(M\left( { - \frac{1}{2};3} \right).\)

d) Đúng. Nhận thấy đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \( - 2.\)

Đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \( - \frac{{m + 2}}{{m - 2}}.\)

Do đó, để \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( {d'} \right)\) tại một điểm trên trục hoành thì \( - \frac{{m + 2}}{{m - 2}} = - 2\), do đó \(m = 6.\)

Đáp án: −2.

Để hai đồ thị \[y = x + {m^2} + 1\] và \[y = 5 + \left( {m-1} \right)x\] cắt nhau thì \(m - 1 \ne 1,\) tức là \(m \ne 2.\)

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) nằm trên trục tung thì giao điểm này có hoành độ bằng 0, tức \({x_A} = 0.\)

Thay \({x_A} = 0\) vào hàm số \[y = x + {m^2} + 1\] ta được: \[{y_A} = 0 + {m^2} + 1 = {m^2} + 1.\,\,\,\left( 1 \right)\]

Thay \({x_A} = 0\) vào hàm số \[y = 5 + \left( {m--1} \right)x\] ta được: \[{y_A} = 5 + \left( {m--1} \right) \cdot 0 = 5.\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \({m^2} + 1 = 5.\)

Do đó \({m^2} = 4\) nên \(m = 2\) (không thỏa mãn) hoặc \(m = - 2\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = - 2.\)