Cho hai đa thức:

\(M = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1\) và \(N =  - 22x{y^3} - 42y - 1\).

a) Tính giá trị của mỗi đa thức \(M,\,N\) tại \(x = 0;\,y =  - 2\).

b) Tính \(M + N,\,M - N\).

c) Tìm đa thức \(P\) sao cho \(M - N - P = 63y + 1\).

Chiều dài của hộp giấy đó là: \(x + y\) (cm).

Diện tích xung quanh của hộp giấy đó là:

\({S_{xq}} = 2\left[ {\left( {x + y} \right) + x} \right].\left( {y + 3} \right)\)\( = 2\left( {2x + y} \right)\left( {y + 3} \right)\)

                                    \( = \left( {4x + 2y} \right)\left( {y + 3} \right)\)

                                    \( = 4xy + 12x + 2{y^2} + 6y\) (cm2).

Thể tích của hộp giấy đó là:

\(V = x\left( {x + y} \right)\left( {y + 3} \right) = \left( {{x^2} + xy} \right)\left( {y + 3} \right) = {x^2}y + 3{x^2} + x{y^2} + 3xy\) (cm3).

Vậy đa thức biểu thị diện tích xung quanh của hộp giấy đó là \({S_{xq}} = 4xy + 12x + 2{y^2} + 6y\) (cm2) và đa thức biểu thị thể tích của hộp giấy đó là \(V = {x^2}y + 3{x^2} + x{y^2} + 3xy\) (cm3).

Vì \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd\)

\( \Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd = 0\). (*)

Ta có \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd\)

\( = \left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) + \left( {{c^4} - 2{c^2}{d^2} + {d^4}} \right) + \left( {2{a^2}{b^2} - 4abcd + 2{c^2}{d^{^2}}} \right)\)

\( = \left[ {{{\left( {{a^2}} \right)}^2} - 2{a^2}{b^2} + {{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {{c^2}} \right)}^2} - 2{c^2}{d^2} + {{\left( {{d^2}} \right)}^2}} \right] + 2\left[ {{{\left( {ab} \right)}^2} - 2ab.cd + {{\left( {cd} \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2}\).

Từ (*) suy ra \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2} = 0\). (**)

Mà \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} \ge 0,\,\,2{\left( {ab - cd} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,\,b,\,c,\,d\).

Do đó (**) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 0\\{c^2} - {d^2} = 0\\ab - cd = 0\end{array} \right.\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a =  \pm b\\c =  \pm d\\ab = cd\end{array} \right.\).

Mà \(a,\,b,\,c,\,d\) là các số dương nên \(a = b = c = d\).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.