Lớp \(10A\) có \(26\)em thích bóng đá, \(30\) em thích bóng chuyền, \(15\) em thích cả bóng đá và bóng chuyền. Hỏi lớp \(10A\) có bao nhiêu học sinh (biết các học sinh của lớp đều thích ít nhất một trong hai môn trên)?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Gọi đường thẳng \({d_1}\) có dạng \(y = ax + b\left( 1 \right)\)

Đường thẳng này đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,2} \right)\) và \(\left( { - 2;\,\,0} \right)\)

Thay lần lượt tọa độ hai điểm này vào \(\left( 1 \right)\) ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.\left( { - 2} \right) + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {d_1}:y = x + 2\) hay \({d_1}:x - y =  - 2\)

Lấy \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(0 - 0 = 0 >  - 2\) là điểm không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho và miền nghiệm không kể đường thẳng \[{d_1}\] nên ta có bất phương trình \(x - y <  - 2\).

+) Gọi đường thẳng \({d_2}\) có dạng \(y = a'x + b'\left( 2 \right)\)

Đường thẳng này đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,2} \right)\) và \(\left( {10;\,\,0} \right)\)

Thay lần lượt tọa độ hai điểm này vào \(\left( 2 \right)\) ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.10 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{5}\\b = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {d_2}:y =  - \frac{1}{5}x + 2\) hay \({d_2}:x + 5y = 10\)

Lấy \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(0 + 5.0 = 0 < 2\) là điểm không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho và miền nghiệm kể cả đường thẳng \[{d_2}\] nên ta có bất phương trình \(x + 5y \ge 10\).

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số bàn và \(y\) là số ghế anh An đóng được trong một tuần \(\left( {x;y\,\, \ge 0} \right)\).

Số giờ đề đóng \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là: \(6x + 3y\) (giờ).

Mỗi tuần anh làm việc không quá \(60\) giờ nên ta có bất phương trình: \(6x + 3y \le 60\) (1).

Vì số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất \(2\) lần nên ta có: \(y \ge 2x\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\6x + 3y \le 60\\y \ge 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 20\\ - 2x + y \ge 0\end{array} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {5;\,\,10} \right),\,\,B\left( {0;20} \right)\).

Số tiền lãi thu được: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 150x + 100y\) (nghìn đồng).

Ta có:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 150.0 + 100.0 = 0\);

Tại \(A\left( {5;\,\,10} \right)\) có \(F\left( {5;\,\,10} \right) = 150.5 + 100.10 = 1\,\,750\);

Tại \(B\left( {0;20} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,20} \right) = 150.0 + 100.20 = 2\,\,000\).

Vậy một tuần anh An phải đóng được \(0\) chiếc bàn và \(20\)chiếc ghế để tiền lãi thu được là lớn nhất.