Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) sao cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và hai vectơ \(\overrightarrow x = \overrightarrow a + \overrightarrow b \), \(\overrightarrow y = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \) vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (đơn vị độ).

Đáp án:

Đáp án: 1,15.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'AM} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\)

Kẻ \(MK\) vuông góc với \(AA'\) với \(K \in AA'\), khi đó \(MK \bot BC\), do đó \(MK = d\left( {BC,\,\,AA'} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(\Delta ABC\) đều cạnh \(2\) nên \(AM = \sqrt 3 \).

Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có \(AK = \sqrt {A{M^2} - K{M^2}} = \frac{3}{2}\)

\(\Delta AHA'\) suy ra \(\frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{MK}}{{A'H}} \Rightarrow A'H = \frac{{AH.MK}}{{AK}} = \frac{2}{3}\).

Thể tích lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \frac{2}{3}.\frac{{4\sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \approx 1,15\).

a) Đúng. Số cách lấy được cả 3 quả cầu đánh số chẵn là \(C_{22}^3 = 1540\).

b) Sai. Số cách lấy 3 quả tùy ý là \(n\left( \Omega  \right) = C_{45}^3 = 14190\).

Ta chia các quả cầu thành các nhóm \({S_0};{S_1};{S_2};{S_3}\) là các nhóm chứa các quả cầu lần lượt có các số dư như sau:

\({S_0}\) gồm 5 số chia hết cho 8

\({S_1}\) gồm 11 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4

\({S_2}\) gồm 6 số chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8

\({S_3}\) gồm 23 số lẻ.

Gọi \(A\) là biến cố: “tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8”.

Ta đi tính \(n\left( {\overline A } \right)\).

Để tích 3 số không chia hết cho 8 thì xảy ra các trường hợp:

3 số thuộc \({S_3}\).

1 số thuộc \({S_1}\) và 2 số thuộc \({S_3}\).

1 số thuộc \({S_2}\) và 2 số thuộc \({S_3}\).

2 số thuộc \({S_1}\) và 1 số thuộc \({S_3}\).

\(n\left( {\overline A } \right) = C_{23}^3 + C_{23}^2\left( {C_{11}^1 + C_6^1} \right) + C_{23}^1C_{11}^2 = 1771 + 4301 + 1265 = 7337\).

Suy ra \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{623}}{{1290}}\).

c) Sai. Để chọn được 3 số có tổng là số lẻ thì xảy ra hai trường hợp:

3 số đều lẻ

1 số lẻ và 2 số chẵn

Gọi \(B\) là biến cố: “tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số lẻ”

\(n\left( B \right) = C_{23}^3 + C_{23}^1C_{22}^2 = 7084\)

\(P\left( B \right) = \frac{{7084}}{{14190}} = \frac{{322}}{{645}}\)

d) Đúng. Ta chia các quả cầu thành các nhóm \({C_0};{C_1};{C_2};{C_3}\) là các nhóm chứa các quả cầu lần lượt có các số dư như sau:

\({C_0}\) gồm 11 số chia hết cho 4.

\({C_1}\) gồm 12 số chia hết cho 4 dư 1.

\({C_2}\) gồm 11 số chia hết cho 4 dư 2.

\({C_3}\) gồm 11 số chia hết cho 4 dư 3.

Gọi \(C\) là biến cố: “tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số chia hết cho 4”.

Xảy ra các trường hợp sau:

Cả 3 số đều thuộc \({C_0}\) có \(C_{11}^3 = 165\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_0}\) và 2 số thuộc \({C_2}\) có  \(C_{11}^1.C_{11}^2 = 605\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_0}\), 1 số thuộc \({C_1}\) và 1 số thuộc \({C_3}\) có \(11 \times 12 \times 11 = 1452\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_2}\) và 2 số thuộc \({C_3}\) có  \(C_{11}^1.C_{11}^2 = 605\) cách chọn.

2 số thuộc \({C_1}\) và 1 số thuộc \({C_2}\) có \(C_{12}^2.C_{11}^1 = 726\) cách chọn.

\(n\left( C \right) = 3553 \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{{3553}}{{C_{45}^3}} = \frac{{323}}{{1290}}\).