Cho hai đường thẳng \(\left( d \right):\;\,y = ax + b;\;\,\left( {{d_1}} \right):y = x + 1.\) Biết rằng đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua 2 điểm \(A\left( {1;\;\,3} \right);\;\,B\left( {0;\;2} \right).\)

Đáp án: \(8\)

Vì đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc bằng 4 nên \(a = 4\) (thỏa mãn). Do đó, \(y = 4x + b.\)

Vì đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 hoành độ của điểm đó bằng 0.

Suy ra \(2 = 4 \cdot 0 + b\) nên \(b = 2.\)

Ta có: \(a \cdot b = 4 \cdot 2 = 8.\) Vậy \(a \cdot b = 8.\)

a) Sai.

Ta có: \(\left( {{d_1}} \right):y = \frac{{4x - 1}}{2} = 2x - \frac{1}{2}.\) Vậy đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) có hệ số góc bằng 2.

b) Đúng.

Ta có: \(\left( {{d_2}} \right):y = - \frac{1}{2}\left( {2x + 2} \right) = - x - 1.\)

Vì \( - 1 < 0\) nên góc tạo bởi đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) và trục hoành là góc tù.

c) Đúng.

Vì \( - 1 \ne 2\) nên đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) cắt đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right).\)

d) Sai.

Gọi \(A\left( {{x_0};\;\,{y_0}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right).\)

Khi đó, \({y_0} = 2{x_0} - \frac{1}{2}\) và \({y_0} = - {x_0} - 1.\) Suy ra \( - {x_0} - 1 = 2{x_0} - \frac{1}{2}\) hay \({x_0} = \frac{{ - 1}}{6}.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) có hoành độ âm.