Một khối rubik có dạng hình chóp tam giác đều (các mặt khối rubic là các tam giác đều bằng nhau), có chu vi đáy bằng 234 mm, đường cao của mặt bên hình chóp là \[67,5\] mm .

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) của khối rubik đó.

b) Biết chiều cao của khối rubik là \[63,7\] mm. Tính thể tích của khối rubik đó.

 

A = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(B = \frac{2}{{1 - x}} + \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}\) với \(x \ne 1.\)

a) Thay \(x =  - 2\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta được:

\[A = \frac{4}{{{{\left( { - 2} \right)}^2} + \left( { - 2} \right) + 1}} = \frac{4}{{4 - 2 + 1}} = \frac{4}{3}.\]

b) Ta có \(A = B + C\) nên \(C = A - B\)

\(C = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}} - \left( {\frac{2}{{1 - x}} + \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}} \right)\)

\( = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{1 - x}} - \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}\)

\( = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}} - \frac{{2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{4\left( {x - 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + 4x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{4x - 4 + 2{x^2} + 2x + 2 - 2{x^2} - 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{{x^2} + x + 1}}\)

Vậy với \(x \ne 1\) ta có \(C = \frac{2}{{{x^2} + x + 1}}.\)

c) Với \(x \ne 1\) ta có \[C = \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{2}{{{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}\]

Mà \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\), do đó \[C = \frac{2}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} > 0\] với mọi \(x \ne 1.\)

Ta có: \(2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0\)

\(\left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\)

\({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Với mọi \(x,y\) ta có: \({\left( {x - 3y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Do đó \(\left( * \right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3y} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 0\\x - 3 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.\), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(A = \frac{{{{\left( {x + y - 4} \right)}^{2024}} - {y^{2024}}}}{x} = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2024}} - {1^{2024}}}}{3} = \frac{{0 - 1}}{3} =  - \frac{1}{3}.\)