Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} =  - 2;{u_3} = 6\). Hỏi 2022 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\{u_3} = 36\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\{u_1}{q^2} = 36\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\9{q^2} = 36\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.\) (vì \(q > 0\)).

b) \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 9 \cdot {2^{n - 1}}\).

c) Ta có \({u_6} = 9 \cdot {2^5} = 288\).

d) \({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{9\left( {1 - {2^9}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Ta có \({u_4} = {3^4} = 81 < 100\).

b) \({u_1} = 3;{u_5} = 243;{u_9} = 19683\).

Có \(\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = \frac{{3 + 19683}}{2} = 9843 \ne {u_5}\).

c) Có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^n}}} = 3 > 1\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.

Ta có \({3^n} \ge 3,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

d) \(1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{2024}} = 1 + 3 + {3^2} + ... + {3^{2024}} = \frac{{{3^{2025}} - 1}}{2} \ne \frac{{{u_{2024}} - 1}}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.