Cho hình vuông \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a\). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) (xem hình vẽ). Từ hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1},\,\,{C_2},\,\,{C_3},\,...,\,{C_n},\,...\). Gọi \({S_i}\) là diện tích của hình vuông \({C_i}\,\,\left( {i \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,...} \right\}} \right)\). Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\). Biết \(T = \frac{{32}}{3}\), tính \(a\).

Đáp án đúng là: C

Vì \(I,J\) lần lượt là trung điểm \(SA,SB\) nên \[IJ\] là đường trung bình của tam giác \(SAB\), do đó \(IJ\,{\rm{//}}\,AB\).

Tương tự, \(EF\) cũng là đường trung bình của tam giác \(SCD\) nên \[EF\,{\rm{//}}\,CD\].

Mà \[CD\,{\rm{// }}AB\] (đáy \(ABCD\) là hình bình hành).

Do đó, bốn đường thẳng \(AB,\,CD,\,EF,\,IJ\) đôi một song song với nhau.

Vậy đường thẳng \[IJ\] không song song với đường thẳng \[AD.\]

1.

a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {n + 1 - n} \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}} = \frac{1}{2}\]. (0,5 điểm)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{2\tan x + 1}}{{\sin x + 1}} = \frac{{2\tan \frac{\pi }{6} + 1}}{{\sin \frac{\pi }{6} + 1}} = \frac{{4\sqrt 3 + 6}}{9}\). 

2.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Với \(x \ne 1\) ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 8x + m}}{{x - 1}} = {x^2} + x + 9 + \frac{{m + 9}}{{x - 1}}\).

\(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi $li{m}_{x\to 1}f\left(x\right) = f\left(1\right) \left(1\right)$

Nếu \(m + 9 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 9\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\).

Do đó \(m + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow m = - 9\). Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 9} \right) = 11\).

Vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow n = 11\), suy ra \(P = m + n = - 9 + 11 = 2\).