Phần không tô đậm trong hình vẽ (kể cả đường thẳng \(\Delta \)) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có:

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)

\( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)^2} = {\left( {3\overrightarrow {MG} } \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = 9M{G^2}\).

Mà:

\({\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)

\( = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 2 \cdot \overrightarrow {MG} \cdot \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\)

\( = 3M{G^2} + 3G{A^2} + 2 \cdot \overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow 0 \)

\( = 3M{G^2} + 3G{A^2}\)

Do đó, \(3M{G^2} + 3G{A^2} + 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = 9M{G^2}\)

Ta có:

Gọi \(AH\) là đường cao cũng là đường trung tuyến của tam giác đều \(ABC\).

Khi đó, \(HB = HC = \frac{a}{2}\).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\)

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\).

Do điểm \(M\) là điểm bất kì thuộc đường tròn tâm \(G\) có bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) nên \(MG = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên độ dài đường cao bằng độ dài đường trung tuyến và bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(G\) là trọng tâm nên \(GA = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Thay số ta có:

\(3 \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} + 3 \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = 9 \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 3 \cdot \frac{{2{a^2}}}{9} + 3 \cdot \frac{{3{a^2}}}{9} + 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = 9 \cdot \frac{{2{a^2}}}{9}\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = \frac{{18{a^2}}}{9} - \frac{{6{a^2}}}{9} - \frac{{9{a^2}}}{9}\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = \frac{{3{a^2}}}{9}\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{{{a^2}}}{6}\,\,\,\,\) (đpcm).

Đáp án đúng là: D

Vì cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn mía và không quá 9 tấn củ cải đường nên \(0 \le x \le 10\) và \(0 \le y \le 9\).

Theo bài ra ta có, \(x\) tấn mía và \(y\) tấn củ cải đường có thể chiết xuất được \(20x + 10y\) kg đường kính và \(0,6x + 1,5y\) kg đường cát.

Vì cần chiết xuất ít nhất 140 kg đường kính và 9 kg đường cát nên \(20x + 10y \ge 140\) và \(0,6x + 1,5y \ge 9\).

Vậy một hệ điều kiện giữa \(x\) và \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\end{array} \right.\).