(1 điểm) Từ vị trí \(A\), người ta quan sát một cây cao (như hình dưới). Biết \(AH = 5\,\,{\rm{m,}}\)\(HB = 25\,{\rm{m}}\), \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Tính chiều cao \(BC\) của cây.

Vì M là trung điểm của BC nên \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\].

Suy ra \[AM = {\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\]

Lại có \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = c \cdot b.\cos A = bc \cdot \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\]

Nên \[A{M^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\].

Theo tính chất đường phân giác thì \[\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\].

Suy ra \[\overrightarrow {BD} = \frac{{BD}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \frac{b}{c}\overrightarrow {DC\,} \,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Mặt khác \[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \] thay vào (*) ta được

\[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{b}{c}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\overrightarrow {AD} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \]

\[ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {\left( {b\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2bc\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + {\left( {c\overrightarrow {AC} } \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {b^2}{c^2} + 2bc.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {c^2}{b^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\]

Vậy \[{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\].

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ sau:

Cây cầu có dạng hình parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Ta có:\(AH = 4 \Rightarrow OH = \frac{{200}}{2} - 4 = 96\,\,\left( {\rm{m}} \right)\); \(MH = 12 - 10 = 2\,\left( {\rm{m}} \right)\); \(OA = OB = 100\,\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Do đó, \(A\left( { - 100;0} \right)\), \(B\left( {100;0} \right)\), \(M\left( { - 96;2} \right)\).

Do parabol đi qua ba điểm \(A\left( { - 100;0} \right)\), \(B\left( {100;0} \right)\), \(M\left( { - 96;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 100} \right)^2} + b.\left( { - 100} \right) + c = 0\\a{.100^2} + b.100 + c = 0\\a.{\left( { - 96} \right)^2} + b.\left( { - 96} \right) + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{392}}\\b = 0\\c = \frac{{1250}}{{49}}\end{array} \right.\).

Do đó, phương trình parabol là: \(y = - \frac{1}{{392}}{x^2} + \frac{{1250}}{{49}}\).

Đỉnh parabol có hoành độ \(x = 0\) (từ hình vẽ) nên có tung độ là: \(y = \frac{{1250}}{{49}} \approx 25,5\).

Độ cao của cầu chính là tung độ của đỉnh parabol.

Vậy độ cao của cầu xấp xỉ 25,5 m.