(2,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(M\) là một điểm bất kì trên cạnh huyền \(BC\). Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) xuống \(AB\) và \(AC.\)

a) Tứ giác \(ADME\) là hình gì? Vì sao?

b) Lấy điểm \(I\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(ID\); điểm \(K\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(EK\). Chứng minh \(EI = DK\) và \(EI\,{\rm{// }}DK\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(M = 2{x^2} + 4{y^2} + 6x - 4y + 2024\)

\( = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + \left( {{x^2} + 4{y^2} + 1 + 2x - 4xy - 4y} \right) + 2019\)

\( = \left( {{x^2} + 4x + {2^2}} \right) + \left[ {{x^2} + {{\left( {2y} \right)}^2} + {1^2} + 2x - 2.x.2y - 2.2y} \right] + 2019\)

\( = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} + 2019\).

Với mọi \(x,\,\,y \in \mathbb{R}\), ta có: \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\) \({\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \ge 0\).

Do đó \(M = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} + 2019 \ge 2019\).

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 2y + 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x - 2y + 1 = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) là 2019 khi \(x =  - 2\) và \(y = \frac{{ - 1}}{2}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có bảng thống kê sản lượng thủy sản nước ta qua các năm 2010; 2014; 2016; 2018; 2020 như sau:

b) Dựa vào thống kê, ta có:

- Năm 2020 sản lượng thủy sản nước ta cao nhất (\[8\,\,635,7\] nghìn tấn).

- Năm 2010 sản lượng thủy sản nước ta thấp nhất (\[5\,\,204,5\] nghìn tấn).