(2,0 điểm) Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(BC = 2AB\), \(\widehat A = 60^\circ \). Gọi \(E\), \(F\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC\), \(AD\). Trên tia \(AB\) lấy điểm \(I\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(AI.\)

a) Tứ giác \(ABEF\) là hình gì? Vì sao?

b) Tính \(\widehat {AED}\).

a) Do \(E\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BE = \frac{1}{2}BC\) hay \(BC = 2BE.\)

Vì \(BC = 2AB\) và \(BC = 2BE\) nên \(AB = BE\).

Theo đề bài, tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD = BC,\,\,AD\,{\rm{//}}\,BC\).

Vì \(AD = BC\); \(BE = \frac{1}{2}BC;\,AF = \frac{1}{2}AD\) (do \(F\) là trung điểm của \(AD)\) nên \(BE = AF\).

Tứ giác \(ABEF\) có \(BE = AF\) (cmt) và \(BE\,{\rm{//}}\,AF\) (vì \(AD\,{\rm{//}}\,BC\))

Suy ra, tứ giác \(ABEF\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(ABEF\) có \(AB = BE\) nên \(ABEF\) là hình thoi.

b) Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD,\,\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

Vì \(AB = CD\); \(AB = BI\) (do \(B\) là trung điểm của \(AI)\) nên \(BI = CD\).

Tứ giác \(BICD\) có \(BI\,{\rm{//}}\,CD\) (vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\)) và \(BI = CD\) nên tứ giác \(BICD\) là hình bình hành.

Ta thấy \(BD\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của tam giác \(ADI\) nên tam giác \(ADI\) cân tại \(D\).

Tam giác \(ADI\) cân tại \(D\) có \(\widehat {DAI} = 60^\circ \) nên tam giác \(ADI\) là tam giác đều.

Suy ra \(BD\) cũng là đường cao của tam giác \(ADI\) nên \(BD \bot BI\) hay \(\widehat {DBI} = 90^\circ .\)

Hình bình hành \(BICD\) có \(\widehat {DBI} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BICD\) là hình chữ nhật.

Khi đó, \(E\) là trung điểm của \(DI\).

Ta có tam giác \(ADI\) là tam giác đều có \(AE\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Do đó, \(AE \bot DI\) hay \(\widehat {AED} = 90^\circ \).