(0,5 điểm) Cho \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) và \(a + b + c \ne 0.\) Tính giá trị của biểu thức:

\(N = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\)

\({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\)

\({\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc = 0\)

\({\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} - 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0\)

\({\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) - 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0\)

\(\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 3ac - 3bc - 3ab} \right] = 0\)

\(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ac - bc - ab} \right) = 0\)

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - ac - bc - ab = 0\) (do \(a + b + c \ne 0).\)

Nên \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca.\]

Khi đó ta có \(N = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\)

                        \( = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} = \frac{1}{3}.\)

Vậy \(N = \frac{1}{3}.\)