(1,0 điểm)

Một khu vui chơi lập bảng thống kê lượt khách đến tham quan trong một năm (đơn vị: nghìn người) theo từng tháng như dưới đây.

a) Hãy tính xem có bao nhiêu lượt khách đến khu vui chơi đấy trong một năm?

b) Để trong năm sau, khu vui chơi đấy có lượt khách đến thăm quan tăng 20% thì phải đạt được số lượt khách (nghìn người) là bao nhiêu?

a) Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên ta có: \(BA = AC\).

Và: \(\widehat {BAH} + \widehat {KAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

Tam giác \(\Delta KAC\) vuông tại \(K\) nên ta có:

\(\widehat {KAC} + \widehat {KCA} = 180^\circ - \widehat {AKC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (cùng phụ với \(\widehat {KAC}\))

Xét hai tam giác vuông \(\Delta BAH\) và \(\Delta ACK\) có:

\(BA = AC\) (cmt)

\(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (cmt)

Do đó \(\Delta BAH = \Delta ACK\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(BH = AK\) (hai cạnh tương ứng).

b) Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(M\) là trung điểm nên đường trung tuyến \(AM\) cũng là đường cao.

Xét tam giác \(\Delta ADC\) có \(CK\) và \(AM\) là hai đường cao cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là trực tâm của tam giác \(\Delta ADC\).

Nên \(DI\) cũng là đường cao của tam giác \(\Delta ADC\).

Suy ra \(DI \bot AC\) (đpcm).

c) \(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (cmt)

Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến cũng là đường phân giác.

Khi đó \(\widehat {BAH} + \widehat {HAM} = \widehat {BAM} = 45^\circ \) và \(\widehat {ACK} + \widehat {KCM} = \widehat {ACM} = 45^\circ \).

Suy ra \[\widehat {HAM} = \widehat {KCM}\]

\(\Delta BAH = \Delta ACK\) (cmt)

Suy ra \(AH = CK\) (hai cạnh tương ứng).

Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên ta có: \(AM = CM = \frac{{BC}}{2}.\)

• Xét hai tam giác vuông \(\Delta AMH\) và \(\Delta CMK\) có:

\(AM = CM\) (cmt)

\[\widehat {HAM} = \widehat {KCM}\] (cmt)

\(AH = CK\) (cmt)

Do đó \(\Delta AMH = \Delta CMK\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AHM} = \widehat {CKM}\) (hai góc tương ứng); \(MH = MK\) (hai cạnh tương ứng).

Suy ra tam giác \(\Delta MHK\) cân tại \(M\).

Do đó \(\widehat {MHK} = \widehat {MKH}\).

• Ta có: \(\widehat {CKH} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {CKM} + \widehat {MKH} = 90^\circ \)

\(\widehat {AHM} + \widehat {MHK} = 90^\circ \)

\(\widehat {KHM} + \widehat {MHK} = 90^\circ \)

Từ đó \(2\,.\,\widehat {MHK} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MHK} = 45^\circ \)

Do đó \(\widehat {MKH} = 45^\circ \)

• Xét góc \(\widehat {CKH}\) có \(\widehat {CKH} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {CKM} + \widehat {MKH} = 90^\circ \) hay\(\widehat {CKM} + 45^\circ = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CKM} = 45^\circ \) do đó \(\widehat {MKH} = \widehat {CKM}\).

Đáp án đúng là: D

Xét hai tam giác \(\Delta MAB\) và \(\Delta MEC\) có:

\(MA = ME\) (gt)

\(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))

\(\widehat {AMB} = \widehat {EMC}\) (Hai góc đối bằng nhau)

Vậy \[\Delta MAB = \Delta MEC\] (c.g.c)