Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(MA = ME\). Phát biểu nào dưới đây là đúng?

Sau khi chuyển đi thì tổng số thóc mỗi kho là như nhau và bằng:

\(600:3 = 200\) (tấn)

Sau khi chuyển đi \(\frac{1}{5}\) số thóc thì kho I còn lại \(\frac{4}{5}\) số thóc ban đầu.

Vậy số thóc ban đầu của kho I là:

\(200:\frac{4}{5} = 250\) (tấn)

Sau khi chuyển đi \(\frac{1}{6}\) số thóc thì kho II còn lại \(\frac{5}{6}\) số thóc ban đầu.

Vậy số thóc ban đầu của kho II là:

\(200:\frac{5}{6} = 240\) (tấn)

Sau khi chuyển đi \(\frac{1}{{11}}\) số thóc thì kho III còn lại \(\frac{{10}}{{11}}\) số thóc ban đầu.

Vậy số thóc ban đầu của kho III là:

\(200:\frac{{10}}{{11}} = 220\) (tấn)

Tổng số thóc ở cả ba kho lúc ban đầu là:

\(250 + 240 + 220 = 710\) (tấn)

Vậy ban đầu cả ba kho có tất cả \(710\) tấn thóc.

a) Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên ta có: \(BA = AC\).

Và: \(\widehat {BAH} + \widehat {KAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

Tam giác \(\Delta KAC\) vuông tại \(K\) nên ta có:

\(\widehat {KAC} + \widehat {KCA} = 180^\circ - \widehat {AKC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (cùng phụ với \(\widehat {KAC}\))

Xét hai tam giác vuông \(\Delta BAH\) và \(\Delta ACK\) có:

\(BA = AC\) (cmt)

\(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (cmt)

Do đó \(\Delta BAH = \Delta ACK\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(BH = AK\) (hai cạnh tương ứng).

b) Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(M\) là trung điểm nên đường trung tuyến \(AM\) cũng là đường cao.

Xét tam giác \(\Delta ADC\) có \(CK\) và \(AM\) là hai đường cao cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là trực tâm của tam giác \(\Delta ADC\).

Nên \(DI\) cũng là đường cao của tam giác \(\Delta ADC\).

Suy ra \(DI \bot AC\) (đpcm).

c) \(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (cmt)

Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến cũng là đường phân giác.

Khi đó \(\widehat {BAH} + \widehat {HAM} = \widehat {BAM} = 45^\circ \) và \(\widehat {ACK} + \widehat {KCM} = \widehat {ACM} = 45^\circ \).

Suy ra \[\widehat {HAM} = \widehat {KCM}\]

\(\Delta BAH = \Delta ACK\) (cmt)

Suy ra \(AH = CK\) (hai cạnh tương ứng).

Tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên ta có: \(AM = CM = \frac{{BC}}{2}.\)

• Xét hai tam giác vuông \(\Delta AMH\) và \(\Delta CMK\) có:

\(AM = CM\) (cmt)

\[\widehat {HAM} = \widehat {KCM}\] (cmt)

\(AH = CK\) (cmt)

Do đó \(\Delta AMH = \Delta CMK\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AHM} = \widehat {CKM}\) (hai góc tương ứng); \(MH = MK\) (hai cạnh tương ứng).

Suy ra tam giác \(\Delta MHK\) cân tại \(M\).

Do đó \(\widehat {MHK} = \widehat {MKH}\).

• Ta có: \(\widehat {CKH} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {CKM} + \widehat {MKH} = 90^\circ \)

\(\widehat {AHM} + \widehat {MHK} = 90^\circ \)

\(\widehat {KHM} + \widehat {MHK} = 90^\circ \)

Từ đó \(2\,.\,\widehat {MHK} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MHK} = 45^\circ \)

Do đó \(\widehat {MKH} = 45^\circ \)

• Xét góc \(\widehat {CKH}\) có \(\widehat {CKH} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {CKM} + \widehat {MKH} = 90^\circ \) hay\(\widehat {CKM} + 45^\circ = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CKM} = 45^\circ \) do đó \(\widehat {MKH} = \widehat {CKM}\).